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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 5 f

5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.

Passo 1

As matrizes a serem trabalhadas são

(a) - 1 0 0 1 (b) 1 0 0 - 1 (c) 1 0 0 1

(d) 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 (e) 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 (f) - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2

(f) Trabalhando a matriz abaixo pertencente a Tabela 1

- 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Uma matriz é ortogonal, se

F F T = F T F = I

Passo 3

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

C = a b c d e f g h i

C T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 4

Calculando a transposta de F

F = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

F T = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 5

Retornando para

F T F = I

F T F = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 6

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 7

Calculando:

F T F = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

F T F = - 1 ∙ - 1 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 - 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 - 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 0 ∙ - 1 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 0 ∙ - 1 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1

F T F = 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1

F T F = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então, temos

F T F = I

Resposta

Então, por definição temos que F T é uma matriz ortogonal

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