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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 3

Encontre uma base ortonormal para o subespaço de R 3 que consiste de todos os vetores (a, b, c) tais que a + b + c = 0.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

Subespaço: R 3

Condição: a + b + c = 0

Vetores: (a, b, c)

Passo 2

Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é criar uma equação genérica para o nosso problema, ela fica assim, saca só: - α - β , β , α = - α , 0 , α + ( - β , β , 0 )

- α - β , β , α = α - 1 ,   0 , 1 + β ( - 1 ,   1 ,   0 )

Beleza! Encontramos dois vetores, eu vou nomeá-los de “g”, mas você pode escolher a letra que quiser, lembrando que é uma escolha arbitrária. Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.

Vetores: g 1 = - 1 ,   0 ,   1   e g 2 = ( - 1 ,   1 ,   0 )

Agora, para resolvermos a primeira parte do exercício precisaremos encontrar dois vetores distintos que vou chamá-los de “t”, também é uma escolha arbitrária.

Vetor: t 1

t 1 =   g 1 t 1 =   - 1 ,   0 ,   1

Vetor: t 2

t 2 =   g 2 - p r o j ( t 1 , g 2 )

t 2 = ( - 1 ,   1 ,   0 ) - p r o j ( t 1 , g 2 )

t 2 = ( - 1 ,   1 ,   0 ) - p r o j - 1 ,   0 ,   1 ,   ( - 1 ,   1 ,   0 )

t 2 = - 1 2 , 1 , - 1 2

Passo 3

Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “x”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: x 1

x 1 = t 1 n o ( t 1 )

x 1 = - 1 ,   0 ,   1 n o - 1 ,   0 ,   1

x 1 = - 1 2 2 ,     0 ,     1 2 2  

Vetor: x 2

x 2 = t 2 n o ( t 2 )

x 2 = - 1 2 , 1 , - 1 2 n o - 1 2 , 1 , - 1 2

x 2 = - 1 6 6 ,     1 3 6 ,     - 1 6 6  

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

x 1 = - 1 2 2 ,     0 ,     1 2 2  

x 2 = - 1 6 6 ,     1 3 6 ,     - 1 6 6  

Exercícios de Livros Relacionados

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Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. u = - 1,3 , 2 , v = 4,2 , - 1 u = - 2 , - 2 , - 2 , v = 1,1 , 1 u = u 1 , u 2 , u 3 , v = 0,0 , 0