Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 8
Use o procedimento do exercício 7 para resolver
Passo 1
Devemos resolver a equação diferencial usando o método descrito no exercício 7 que é nada mais nada menos do que fazer a seguinte substituição de variáveis
A partir disso podemos inferir que
Como é descrito no exercício e que vamos nos valer aqui para resolver nosso exercício.
Passo 2
Pois bem, se podemos tomar a seguinte matriz
Que é uma forma matricial de escrevermos o os coeficientes da nossa equação. Assim, aplicando a nossa equação característica (que nos fornece os autovalores) vamos obter
Cujas raízes são .
Passo 3
Façamos, agora, a seguinte mudança de variáveis
Onde é a matriz que diagonaliza e é o vetor coluna da nossa nova variável. Assim, temos que
Por fim, retornando para nossa variável de origem vamos ter o seguinte
Como, da nossa substituição de variáveis inicial temos que vamos ter, então, que a solução da nossa equação diferencial de segunda ordem vai ser
Pronto, está resolvido nosso problema.