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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 8

Use o procedimento do exercício 7 para resolver

y " + y ' - 12 y = 0

Passo 1

Devemos resolver a equação diferencial usando o método descrito no exercício 7 que é nada mais nada menos do que fazer a seguinte substituição de variáveis

y_1 = y , y_1 = y^'

A partir disso podemos inferir que

y_1^' = y_2 , y_2^' = y " = - y ' + 12 y

Como é descrito no exercício 7 e que vamos nos valer aqui para resolver nosso exercício.

Passo 2

Pois bem, se y_2^' = - y_2 + 12 y_1 podemos tomar a seguinte matriz

A = [[[0,1],[12,-,1]]]

Que é uma forma matricial de escrevermos o os coeficientes da nossa equação. Assim, aplicando a nossa equação característica (que nos fornece os autovalores) vamos obter

det (A - lambda I) = 0 -> d e t ([[[0,1],[12,-,1]]] - [[[lambda,0],[0,lambda]]]) = 0

|[[-,lambda,1],[12,-,(1 + lambda)]]| = 0

-> lambda * (1 + lambda) - 12 = 0 -> lambda^2 + lambda - 12 = 0

Cujas raízes são lambda_1 = 3 , lambda_2 = - 4 .

Passo 3

Façamos, agora, a seguinte mudança de variáveis

y = P u , D = P^(- 1) A P

Onde P é a matriz que diagonaliza A e u é o vetor coluna da nossa nova variável. Assim, temos que

u^' = D u

[[[u_1^'],[u_2^']]] = [[[3 u_1],[- 4 u_2]]] -> [[[u_1],[u_2]]] = [[[c_1 e^(3 x)],[c_2 e^(- 4 x)]]]

Por fim, retornando para nossa variável y de origem vamos ter o seguinte

[[[y_1],[y_2]]] = P u = [[[1,1],[3,-,4]]] * [[[c_1 e^(3 x)],[c_2 e^(- 4 x)]]]

Como, da nossa substituição de variáveis inicial temos que y_1 = y vamos ter, então, que a solução da nossa equação diferencial de segunda ordem vai ser

y_1 = y = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(- 4 x)

Pronto, está resolvido nosso problema.

Resposta

y = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(- 4 x)

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