Matriz Elementar
Teoria
E aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Vem comigo para aprender um conceito muito elementar: a matriz elementar 🤣 🤦🏾♀️
O que é uma matriz elementar?
Uma matriz elementar nada mais é que uma matriz identidade que sofreu alguma operação elementar. (Não lembra das operações elementares? clica no link!)
Vamos considerar a seguinte matriz identidade:
Vamos criar cinco matrizes elementares:
Então, se pegarmos a matriz identidade e multiplicarmos a segunda linha por
Então, se pegarmos a matriz identidade e trocarmos a segunda linha da matriz identidade com a primeira obtemos a matriz elementar
Então, se pegarmos a primeira linha da matriz identidade, multiplicarmos por
Então, se pegarmos a terceira linha da matriz identidade e subtrairmos a primeira linha obtemos a matriz elementar
Então, se pegarmos a terceira linha da matriz identidade e somarmos a segunda linha obtemos a matriz elementar
Sacou? Achamos cinco matrizes elementares, só pegando uma matriz identidade e aplicando operações elementares nela.
Nenhum mistério!! 🙌🏾
Pra que serve uma matriz elementar?
Beleza mas pra que serve a matriz elementar? É simples, podemos usar matrizes elementares para escalonar matrizes!
O que fazemos em escalonamento é justamente aplicar diversas operações elementares em sequência na matriz.
E se a gente multiplicar uma nova matriz por uma matriz elementar, o resultado é que as operações elementares da matriz elementar são “transferidas” pra nova matriz.
Por exemplo: imagina que a gente tem uma matriz
Ao invés de escalonar aplicando as operações elementares na matriz diretamente, a gente pode simplesmente multiplicar ela pelas elementares e assim obtemos a matriz escalonada:
Irado não é?
Então da uma olha nesse vídeo de exercício sobre matrizes elementares:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Escreva as matrizes elementares referentes às operações elementares usadas para escalonar a matriz abaixo:
Passo 1
Primeira coisa é escalonar a matriz :
Passo 2
Agora vamos montar as matrizes elementares.
Para montar as matrizes elementares temos que aplicar cada um das operações elementares em uma matriz identidade:
:
:
:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Sabendo que foram usadas as seguintes operações elementares para escalonar totalmente uma matriz :
Ache a matriz
Passo 1
O que sabemos até agora é que aplicamos essas operações elementares em uma matriz e como consequência obtivemos a matriz identidade, já que foi totalmente escalonada.
Como queremos saber quem é a matriz , vamos isolá-la:
Como a matriz identidade não altera nada:
Sendo assim, basta inverter as matrizes elementares e depois multiplicá-las na ordem apresentada!
Passo 2
Tá, então agora vamos montar as matrizes elementares:
Passo 3
Agora que já temos as matrizes elementares, vamos inverter as matrizes:
Agora é só multiplicar as matrizes:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Considerando que para escalonar uma matriz foram utilizados os seguintes procedimentos:
Escreva as matrizes elementares relacionadas a esse escalonamento.
Passo 1
Vamos ver, no primeiro procedimento foi realizado , então a primeira matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde a primeira linha é a soma de com :
Já no segundo procedimento, foi realizado , então a matriz elementar vai ser uma matriz identidade onde é a soma de com :
Analogamente, no último procedimento, onde :
Prontinhoo, achamos nossas matrizes elementares :D
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Considere as afirmativas abaixo:
I – As matrizes e são ambas elementares.
II – A matriz é uma matriz elementar.
III – Matrizes elementares quaisquer multiplicadas por uma matriz sempre vão resultar em uma matriz escalonada.
Estão corretas, apenas:
a) I e II
b) I
c) II e III
d) III
e) I, II e III
f) II
g) I e III
Passo 1
Bora lá analisar cada uma das afirmativas:
I – Na primeira matriz, percebemos que ela é a matriz identidade com as linhas trocadas, ou seja, com a operação elementar , portanto ela é elementar. Na segunda matriz, vemos que ela é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por , ou seja, , então ela também é elementar. Looogo, essa afirmativa é verdadeira :D
II – A matriz é a matriz identidade com a primeira linha multiplicada por 2 e a segunda linha multiplicada por 5. Epaa, peraí! Essa matriz passou por DUAS operações elementares. E pra ser elementar de verdade só podia passar por uma :/ Então essa afirmativa é falsa!
III – Faaalso galera! A afirmativa ta falando que se pegarmos matrizes elementares QUAISQUER multiplicarmos por outra matriz , vamos ter uma matriz escalonada. Mas não é bem assim, não podemos tirar matrizes elementares da nossa cabeça, tem que ser as matrizes elementares que condizem com o escalonamento daquela matriz belezinha?
Só a afirmativa I está correta, então a alternativa correta é a b de bola :D
Resposta
b) I
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Seja a matriz :
Escreva as matrizes elementares referentes ao seu escalonamento.
Passo 1
Pra encontrarmos as matrizes elementares, primeiro vamos escalonar a matriz :
O primeiro passo vai ser fazer :
Agora vamos fazer :
Boaa! Nossa matriz está escalonada!! :D
Agora vamos escrever as matrizes elementares.
Passo 2
No primeiro passo, fizemos , então nossa primeira matriz elementar vai ser a primeira linha da matriz identidade menos a segunda:
Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com as linhas trocadas, já que fizemos :
Prontinhoo, encontramos nossas matrizes elementares :D
Lembrando que fizermos a multiplicação , teremos a matriz escalonada ;)
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração própria
Considere a matriz:
Escreva as matrizes elementares relacionadas ao escalonamento dessa matriz.
Passo 1
Antes de tudo, vamos escalonar a matriz
O primeiro passo vai ser :
Agora vamos fazer :
Por fim, vamos fazer :
Enfimm, escalonada hehe
Agora vamos escrever as matrizes elementares.
Passo 2
A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade com a operação
Já a segunda matriz elementar, vai ser a matriz identidade com a operação
E a terceira e última matriz elementar vai ter a operação em cima da matriz identidade:
E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração própria
Dada a matriz:
Escreva as matrizes elementares do escalonamento dessa matriz.
Passo 1
Escalonando a matriz:
Primeiro vamos fazer :
Agora vamos fazer :
Enfim, vamos trocar a linha 2 com a linha 3:
Prontinhoo, ta escalonada!!
Agora vamos escrever as matrizes elementares.
Passo 2
A primeira matriz elementar vai ser a matriz identidade com a operação
A segunda vai ser a matriz identidade com a operação
E a terceira vai ser a matriz identidade com a segunda e a terceira linha trocas:
E essas são as nossas matrizes elementares pra esse caso :)
Resposta
Exercício Resolvido #8
Elaboração própria
Sabendo que para escalonar totalmente uma matriz foram realizados os seguintes processos:
Encontre a matriz .
Passo 1
Sabemos que esse escalonamento envolve 2 matrizes elementares (pois foram realizados apenas 2 processos). As matrizes elementares e satisfazem:
Onde é a matriz identidade, já que a matriz foi totalmente escalonada.
Para acharmos , teremos:
Como a matriz identidade não muda nada, teremos apenas:
Então só precisamos achar , e suas inversas fechou?
Passo 2
As matrizes e podem ser encontradas simplesmente com base nos processos dados pelo enunciado.
No caso, vai ser a matriz identidade com a operação :
E vai ser a matriz identidade com :
Agora é só invertermos essas matrizes :)
Passo 3
Pelas regrinhas que vimos lá na teoria, as matrizes invertidas vão ficar assim:
Agora é só aplicar em
Passo 4
Aplicando:
Realizando essa multiplicação de matrizes, vamos ter: