CL e DL de Polinômios e Matrizes
Teoria
Então galerinha, nós já estamos craques em e com vetores, certo?! Então podemos aprender um novo tipo de combinação linear e de dependência linear!!
Acontece que nós podemos fazer tudo aquilo que fazíamos com vetores, com matrizes e polinômios.
CL e DL com matrizes
Vamos relembrar como era a combinação linear com vetores: um vetor é combinação linear de um conjunto de vetores se ele puder ser escrito como uma operação deles. Quando falo operação, tô falando de soma vetorial e multiplicação por escalar!
O vetor é combinação linear do conjunto
O vetor podia ser, por exemplo, e o conjunto podia ser .
Assim, minha combinação linear ia ser:
Pode conferir aí!!
Beleza, eu to te dizendo agora, que posso fazer isso aí com matrizes.
Então no lugar de posso ter uma matriz, por exemplo e no lugar de, posso ter um conjunto de matrizes,
E posso montar a combinação linear:
Fiz apenas as operações que aprendi com matrizes!
Vamos fazer um exemplo pra pegar bem isso aí:
A matriz é combinação linear das matrizes e ?
Vamos tentar montar essa
Assim como eu fazia com os vetores, igualando coordenada por coordenada, vou fazer com matrizes, igualando elemento por elemento:
Daí tenho que . Vou substituir na primeira equação só pra ver se não tem nenhuma contradição:
Perfeito! Então essa matriz é combinação linear das outras.
A dependência linear também é a mesma coisa que já sabemos. Se eu tiver, no conjunto, uma ou mais matrizes que são combinação linear das outras, esse conjunto é , linearmente dependente. Se nenhuma das matrizes puder ser escrita como combinação linear das outras, então o conjunto é , linearmente independente.
E como eu verifico a dependência linear?
Bom, do mesmo jeito de antes, posso fazer a combinação linear das matriz e igualar a matriz nula, sabendo que se todos os coeficientes forem zero meu conjunto é
Tenho que e substituindo na primeira equação, não chego an nenhuma conclusão, tenho
Como não conclui que os coeficientes são todos zero, confirmo que esse conjunto é Mas a gente já sabia disso hahaha...
Posso resolver isso aí de outro jeito também, que as vezes é mais simples: escalonando! Escalonar matrizes? Como isso??
Posso pegar os elementos de cada matriz, botar nas linhas de uma outra matriz e escalonar:
Já vimos que esse conjunto é e já estamos craques no escalonamento então vou deixar pra vocês fazerem aí!
CL e DL com polinômios
É o mesmo princípio!
O polinômio é combinação linear de e se eu conseguir escrever ele como uma operação desses polinômios :
Agora agrupando os termos que multiplicam e os termos independentes:
E agora conseguimos igualar os termos que multiplicam cada potencia de
Tenho então, da primeira equação, que Substituindo na segunda, acho que Pode conferir na terceira equação, dá certinho!
Assim, posso afirmar que esse polinômio é combinação linear dos outros! E portanto, o conjunto é
Posso utilizar as mesmas técnicas para verificar a dependência linear de um conjunto de polinômios: achando os coeficientes da combinação linear que gera o polinômio nulo e vendo se são todos zero, ou escalonando.
Dessa vez, para escalonar, vou por os coeficientes das potencias de nas minhas linhas dessa forma:
Vou escalonar pra provar pra vocês que dá certo:
Zerou uma linha, isso mostra que os polinômios formavam, realmente, um conjunto
CL e DL com polinômios
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Anton e Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, 8ª Ed., Porto Alegre, Bookman, 2005, pp. 173 – ex. 1 (Adaptado)
Explique por que os conjuntos de vetores dados são linearmente dependentes.
- e em
- e em
Passo 1
Bom, para os conjuntos serem linearmente dependentes é preciso que pelo menos um elemento deles seja combinação linear dos outros!
Nesse caso, nós só temos dois elementos nos conjuntos, assim, para um elemento ser do outro, eles devem ser múltiplos!
Passo 2
Vamos analisar agora cada caso, pegando primeiro o da letra (a):
- e em
Conseguimos ver que , ou seja, eles são múltiplos e por isso formam um conjunto
Agora a letra (b):
(b) e em
Aqui, temos que , o que também as torna múltiplas fazendo com que o conjunto seja
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine para que o conjunto seja
Passo 1
Bom, para um conjunto ser precisamos ter, nele, pelo menos um elemento que seja dos outros elementos.
Vamos analisar, então o conjunto dado pra gente:
Vemos que as duas primeiras matrizes não são uma da outra facilmente, isso porque quando analisamos a dependência linear de duas matrizes, basta que uma não seja múltipla da outra para garantirmos que o conjunto formado por elas é Nesse caso aí é claro que não são múltiplas hahaha.
Assim, se as duas primeiras matrizes não são uma da outra, é preciso que a terceira matriz seja delas para que o conjunto seja
Passo 2
O que eu preciso é:
Separando as equações de cada elemento, temos:
Resolvendo esse sistema, temos que e , substituindo esses valores na primeira equação,
Resposta
Exercício Resolvido #3
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 90 – Ex. 29 (Adaptado)
Seja o espaço e os vetores:
Escreva o vetor como combinação linear dos vetores e
Passo 1
Bom, pedir pra gente escrever uma matriz como de outras é pedir pra gente achar os coeficientes dessa , então, bora montar essa combinação:
Escrevendo a equação de cada elemento:
Substituindo esse valor de nas outras equações, temos:
Fazendo , temos . substituindo em , . E portanto, Por último, devemos conferir se esses valores satisfazem a outra equação,
Perfeitoo!! Beleza, então achamos os coeficientes e assim podemos escrever como das outras matrizes:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 90 – Ex. 28 (Adaptado)
Consideramos no espaço os vetores e
- Escrever o polinômio como combinação linear de .
- Escrever o vetor como combinação linear de
- Determinar uma condição para de modo que o polinômio seja combinação linear de
- É possível escrever como combinação linear de e ?
Passo 1
Letra a)
Montando a :
Então podemos escrever a e os coeficientes são
Passo 2
Letra b)
Agora é só repetir a equação da letra a), com apenas :
Como chegamos num absurdo, o sistema é impossível e por isso o polinômio não pode ser escrito como uma de e
Passo 3
Letra c)
Ou seja, para o polinômio ser uma de tem q satisfazer a condição acima para quaisquer que sejam os valores de . O exercício, pede uma condição, ou seja, não genérica. Então, basta estipularmos valores para , no caso vou escolher :
Passo 4
Letra d)
Montando a :
Como podemos ver, não pode ser escrito como de
Resposta
Letra a)
podemos escrever a e os coeficientes são
Letra b)
não pode ser escrito como uma de e
Letra c)
Letra d)
não pode ser escrito como de
Exercício Resolvido #5
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 88 – Prob. 3.15
Determine se são ou em
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Letra
Vamos botar os coeficientes das potências de dos polinômios nas linhas de uma matriz e escaloná-la:
Sendo o primeiro conjunto , nossa matriz vai ficar igual a:
Repare que botei tudo que multiplica o na terceira coluna, tudo que multiplica o na segunda e os termos independentes na primeira!
Agora vamos escalonar:
Uma linha zerou, quer dizer que o conjunto era
Passo 2
Letra
Vamos fazer o mesmo para o próximo conjunto, colocando os coeficientes em uma matriz:
Agora, escalonando:
Opa, nenhuma linha zerou, isso significa que os polinômios formam um conjunto
Passo 3
Letra
Agora, por último, para o conjunto :
Como a ultima linha zerou, temos um polinômio dos outros e portanto, o conjunto é
Resposta
Exercício Resolvido #6
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 52
Determinar para que o conjunto
Seja
Passo 1
Para o conjunto ser , alguma das matrizes deve ser uma das demais. No caso, vamos forçar a terceira matriz do conjunto ser uma das duas primeiras.
Logo, podemos ver que basta para que o conjunto seja .
Resposta
Exercício Resolvido #7
Lista 3 para P1, 2014.2, exercício 17-a), PUC-rio
Verifique que o conjunto abaixo é :
Passo 1
Vamos fazer uma entre eles e achar que os coeficientes são todos zero. Caso contrário, o conjunto é .
Passo 2
Agora que sabemos que o conjunto é , podemos fazer:
Passo 3
Substituindo nas outras equações temos:
Portanto, o conjunto é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #8
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 94 – Ex. 48 (Adaptado)
Quais dos seguintes conjuntos de polinômios pertencentes ao são ?
Passo 1
Letra a)
Podemos perceber que o terceiro elemento não tem o termo sem o . Sendo assim, vamos tentar fazer alguma dos outros dois polinômios que resulte em um novo polinômio com o elemento sem o .
Como os dois polinômios são:
Para zerar vou fazer o seguinte (Pode zerar multiplicando por qualquer coeficiente):
Ou seja, exatamente o terceiro polinômio! Então, podemos dizer que o conjunto é .
Passo 2
Letra b)
Bom, esse está difícil de ver só no olho, então vamos ter que partir para a .
E como todos os coeficientes são nulos, então o conjunto é .
Passo 3
Letra c)
Bom, esse está mais difícil de ver no olho, então vamos fazer a combinação linear:
Como esse sistema está meio grande, é melhor botar numa matriz e escalonar:
Como podemos ver, o sistema continua:
E, portanto, não podemos isolar nenhuma variável. O que significa que alguma terá que ficar em função da outro. Sendo assim, vamos ter infinitas soluções para os coeficientes. Logo, o conjunto é .
Letra d)
Essa é bem tranquila. Só temos polinômios e como um não é múltiplo do outro, o conjunto é .