Complemento Ortogonal e Matrizes
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Vamos prestar atenção agora que isso é muito importante galera! Lembra de como encontrávamos o complemento ortogonal de um subespaço? Bom, vamos ver um exemplo:
Sendo , vamos encontrar
Jogamos os vetores geradores de nas linhas de uma matriz e resolvemos o sistema homogêneo:
Logo, temos que:
Então, nosso vetor é dado por:
Logo, temos:
Bom, vamos analisar esses resultados, que tal? Bom, é o espaço gerado pelos vetores que zeram a matriz , logo, por definição:
Vamos pegar agora :
Sabemos que a imagem de uma matriz é dada pelo espaço gerado por suas colunas certo? Mas o espaço gerado pelas colunas de é exatamente !!! Então:
Pera, então isso quer dizer que:
Por outro lado, se chamarmos de , teremos que será a nova . Portanto:
Traduzindo para o português, temos que o complemento ortogonal da imagem de uma matriz, é o núcleo de sua transposta.
Enquanto o complemento ortogonal do núcleo de uma matriz, é a imagem de sua transposta.
E isso é um resultado extremamente importante e abre espaço para uma série de análises mais profundas!! Vamos ver mais sobre isso nos exercícios.