Teoria

Vamos prestar atenção agora que isso é muito importante galera! Lembra de como encontrávamos o complemento ortogonal de um subespaço? Bom, vamos ver um exemplo:

Sendo H = 1,2 , 2,1 , 1,0 , 1,1 , vamos encontrar H ⊥ :

Jogamos os vetores geradores de H nas linhas de uma matriz e resolvemos o sistema homogêneo:

A v = 0

1 2 2 1 1 0 1 1 0 0 → L 2 ← L 2 - L 1 1 2 2 1 0 - 2 - 1 0 0 0

Logo, temos que:

- 2 y - z = 0 ⇒ z = - 2 y

x + 2 y + 2 z ⏟ - 4 y + w = 0 ⇒ x - 2 y + w = 0 ⇒ w = - x + 2 y

Então, nosso vetor v é dado por:

v = x , y , - 2 y , - x + 2 y = x 1,0 , 0 , - 1 + y 0,1 , - 2,2

Logo, temos:

H ⊥ = 1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 2,2

Bom, vamos analisar esses resultados, que tal? Bom, H ⊥ é o espaço gerado pelos vetores que zeram a matriz A , logo, por definição:

H ⊥ = N u c A

Vamos pegar agora A T :

1 1 2 0 2 1 1 1

Sabemos que a imagem de uma matriz é dada pelo espaço gerado por suas colunas certo? Mas o espaço gerado pelas colunas de A T é exatamente H !!! Então:

H = I m A T

Pera, então isso quer dizer que:

N u c A = I m A T ⊥ ⇔ I m A T = N u c A ⊥

Por outro lado, se chamarmos A de A T , teremos que A T será a nova A . Portanto:

N u c A T = I m A ⊥ ⇔ I m A = N u c A T ⊥

Traduzindo para o português, temos que o complemento ortogonal da imagem de uma matriz, é o núcleo de sua transposta.

Enquanto o complemento ortogonal do núcleo de uma matriz, é a imagem de sua transposta.

E isso é um resultado extremamente importante e abre espaço para uma série de análises mais profundas!! Vamos ver mais sobre isso nos exercícios.