Complemento Ortogonal e Matrizes
Teoria
Vamos prestar atenção agora que isso é muito importante galera! Lembra de como encontrávamos o complemento ortogonal de um subespaço? Bom, vamos ver um exemplo:
Sendo , vamos encontrar
Jogamos os vetores geradores de nas linhas de uma matriz e resolvemos o sistema homogêneo:
Logo, temos que:
Então, nosso vetor é dado por:
Logo, temos:
Bom, vamos analisar esses resultados, que tal? Bom, é o espaço gerado pelos vetores que zeram a matriz , logo, por definição:
Vamos pegar agora :
Sabemos que a imagem de uma matriz é dada pelo espaço gerado por suas colunas certo? Mas o espaço gerado pelas colunas de é exatamente !!! Então:
Pera, então isso quer dizer que:
Por outro lado, se chamarmos de , teremos que será a nova . Portanto:
Traduzindo para o português, temos que o complemento ortogonal da imagem de uma matriz, é o núcleo de sua transposta.
Enquanto o complemento ortogonal do núcleo de uma matriz, é a imagem de sua transposta.
E isso é um resultado extremamente importante e abre espaço para uma série de análises mais profundas!! Vamos ver mais sobre isso nos exercícios.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ-P3-2012.1
Seja uma matriz quadrada e sejam e vetores tais que e .
Então e são ortogonais entre si.
A afirmativa é falsa
A afirmativa é verdadeira
Passo 1
Bom, primeiro vamos dar uma olhada em onde estão os vetores e certo?
Como temos , , concordam?
Por outro lado, como , temos que ! Todo vetor que pode ser gerado pelas combinações das colunas de uma matriz faz parte da imagem dela ;)
Opa, espera aí, o que nós sabemos sobre o núcleo de uma matriz e a imagem de sua transposta? Aquele negócio MUITO importante que vocês não podiam esquecer lembram?
Sabemos que a imagem da transposta de é o complemento ortogonal do núcleo de . Em outras palavras, os vetores do núcleo de são ortogonais aos vetores da imagem de .
Como e , temos que !! Logo, eles são ortogonais.
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #2
UFRJ-2013.2
Suponha que a matriz é e que sua imagem é gerada pelo vetor .
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
O núcleo de é o conjunto de soluções de
O núcleo de é gerado pelo vetor
O núcleo de é o conjunto de soluções de
A imagem de é o conjunto de soluções de
Passo 1
Opa apareceu imagem, espaço gerado e transpostas nas opções. Já sabem né? Como podemos relacionar a imagem de uma matriz com sua transposta?
O núcleo de é o complemento ortogonal da imagem de . Bom, vamos acha-lo então!
Passo 2
Temos que
Logo, o complemento ortogonal da imagem de é dado por:
Ou seja, é o conjunto solução da equalão a abaixo:
Opa, só um minuto. Dá uma olhada lá na letra ! Isso mesmo, não precisamos nem calcular qual o conjunto solução. Resposta é a letra !
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
UFRJ-P4-2015.1
Seja um subespaço de e o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:
Existe um vetor de que não pertence à soma de e .
A dimensão de é maior ou igual à dimensão de
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então .
Passo 1
Vamos analisar letra por letra.
Sabemos que a soma de e gera o inteiro, pois a soma das dimensões tem que dar o espaço todo em que se encontram. Então essa é falsa, não tem como um vetor do não pertencer ao haha
Passo 2
Se por acaso tiver dimensão igual a , então o seu complemento terá dimensão , não é necessário que a dimensão de seja maior que a de e sim que:
Passo 3
Sabemos que para achar o complemento ortogonal de um conjunto, basta fazermos o produto interno de um vetor genérico do espaço (no caso o ) com os vetores de . Em matrizes isso fica:
Sendo base de
E portanto, temos:
Logo podemos dizer que a imagem de , seria igual à , que é o complemento ortogonal de :
Então essa também é falsa.
Passo 4
Sabemos que o sistema homogêneo:
é o complemento ortogonal de , ou seja, . Então o núcleo da matriz é :
E essa é a opção correta.
Resposta
Letra