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Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Teoria

Opaa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre soma direta de subespaços? Mas antes de qualquer coisa…vamos dar uma breve revisada sobre complemento ortogonal…

O que é Complemento Ortogonal?

Ortogonal nada mais é do que um nome metido a besta para coisas perpendiculares! Por exemplo, se a gente tem duas retas que se interceptam formando um ângulo de podemos dizer que elas são ortogonais!

Beleza, então vamos a definição de complemento ortogonal:

Seja um subespaço vetorial. O complemento ortogonal de é o conjunto $V^{\perp} =\{ w \in R^n | .

O que essa definição super formal aí esta dizendo pra a gente é que, se temos um conjunto qualquer, então o complemento ortogonal de vai ser um outro conjunto com em que TODOS os elementos são ortogonais a .

Por exemplo, vamos pegar considerar que esteja no e seja o plano . Quem será o seu complemento ortogonal?

Complemento ortogonal de um plano
Complemento ortogonal de um plano

Nesse caso o plano ortogonal de será o próprio eixo , afinal todos os seus elementos são perpendiculares ao plano !

📢 Clique para ver mais:

Como Calcular o Complemento Ortogonal por Soma Direta?

Beleza…mas vamos supor que quiséssemos, por exemplo, saber o complemento ortogonal de um plano no ?! 😱😱😱

É aí que entra a soma direta!

Nesse vídeo abaixo eu te explico tudo o que você precisa saber sobre soma direta! Dá uma conferida! 👇

Soma direta de um Subespaço

Vamos ao que interessa! O que é a soma direta de um subespaço e qual é a sua relação com complemento ortogonal?!

A soma da dimensão de um subespaço com a dimensão do seu complemento ortogonal é igual a dimensão do espaço em que estão contidos.

Vamos aplicar essa definição ao exemplo lá de cima onde queríamos saber o complemento ortogonal de um plano no . Sabemos que o plano tem dimensão e o tem dimensão . Então o complemento ortogonal de um plano no terá dimensão:

Maneiro, não?! Daí que vem o nome “complemento”. Ele de fato complementa as dimensões que faltavam para ocupar todo o espaço! Sempre que nós pegarmos uma base de um conjunto e juntar com a base do complemento ortogonal , teremos uma base do !

Agora vamos praticar com exercícios?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P4-2015.2.1

Seja H o conjunto dos vetores do R 4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então H ⊥ , o complemento ortogonal de H , é:

a   Um plano

b   Um hiperplano

c   O R 4

d   Uma reta

Passo 1

Vamos lá!

Sabemos que H é formado por:

x + y = 0 ⇒ x = - y

x , y , z , w = - y , y , z , w = y - 1,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0 + w ( 0,0 , 0,1 )

Sendo assim podemos ver que temos 3 vetores L I e, portanto, a dimensão é 3 . Logo como sabemos que:

dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ = dim ⁡ R 4

Podemos ver que a dimensão do complemento deve ser uma reta, pois deve ter dimensão 1 :

3 + dim ⁡ H ⊥ = 4 ⇒ dim ⁡ H ⊥ = 1

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P3-2012.1

Seja V um espaço vetorial de dimensão 5 .

Seja H um subespaço gerado por 3 vetores não nulos de V .

Então a dimensão do complemento ortogonal de H pode ser no máximo igual a 4 .

a   A afirmativa é falsa.

b   A afirmativa é verdadeira.

Passo 1

Sabemos que a dimensão de H e a dimensão de seu complemento ortogonal H ⊥ somadas têm que dar 5 .

Logo afirmar que a dimensão de H ⊥ é no máximo igual a 4 dá no mesmo que afirmar que a dimensão de H é no mínimo igual a 1 .

E isso é verdade!

Se um vetor é não-nulo, então o espaço gerado por ele tem dimensão 1 .

Mas pode ser que eu escolha mais 2 vetores não nulos para H que sejam todos paralelos ( L D ).

Se isso acontecer, a dimensão do espaço será 1 , que é o valor mínimo. Nesse caso, H ⊥ terá dimensão 4 .

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2014.1-2a

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

“Se R n é soma direta dos subespaços H e W , então W é o complemento ortogonal de H . Noutras palavras, se R n = H ⊕ W , então W = H ⊥ . (Lembre: R n = H ⊕ W se, e somente se, R n = H + W , H ∩ W = 0 . ”

Passo 1

Falso

Podemos justificar pegando um exemplo no R 3 . Pegue o plano x y :

H = x y = s p a n { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 }

E assim seu complemento ortogonal seria o próprio eixo z . Mas não necessariamente ele satisfaz o fato de ser soma direta com o plano x y .

Passo 2

Assim, podemos pegar um outro conjunto formado por:

W = s p a n 0,1 , 1

Sabemos que, para estes H e W , R n = H ⊕ W , mas H ⊥ ≠ W .

OBS: Outros exemplos também são possíveis.

Resposta

Falso.

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P4-2015.1-1 - b)

À questão “No espaço R 3 munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de H = s p a n { 1 , 1,1 } ”, Biazinha escreveu:

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Passo 1

Como H é um espaço de dimensão 1 no R 3 , então seu complemento ortogonal deve ter dimensão 2 já que:

H ⊕ H ⊥ = R n

Assim, podemos ver que Biazinha achou um complemento ortogonal de dimensão 1 , e sem verificar as contas, já podemos ver que sua resposta está errada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

PUCRIO-P4-2014.2

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de H e H ⊥ !)

Passo 1

Ficou faltando na demonstração provar que H + H ⊥ = R n , mas... como provar??

Bom, já sabemos que H ⊂ R n e H ⊥ ⊂ R n , ou seja, H e H ⊥ possuem os mesmos elementos e operações de R n . Então, basta provar que as dimensões da soma dos dois subespaços são iguais ao do R n .

Pela fórmula das dimensões sabemos que:

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ - dim ⁡ ( H ∩ H ⊥ )

Passo 2

-

Mas como a interseção é zero...

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥

E como sabemos que:

d i m ( H ) = k

dim ⁡ H ⊥ = n - k

dim ⁡ H + H ⊥ = k + n - k = n = d i m ⁡ ( R n )

E assim, podemos dizer que H + H ⊥ = R n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)