Exercícios de Complemento Ortogonal e Matrizes - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Seja um subespaço de e o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:
Existe um vetor de que não pertence à soma de e .
A dimensão de é maior ou igual à dimensão de
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então .
Ver solução completaQuestão 2
Suponha que a matriz é e que sua imagem é gerada pelo vetor .
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
O núcleo de é o conjunto de soluções de
O núcleo de é gerado pelo vetor
O núcleo de é o conjunto de soluções de
A imagem de é o conjunto de soluções de
Ver solução completaQuestão 3
Seja uma matriz quadrada e sejam e vetores tais que e .
Então e são ortogonais entre si.
A afirmativa é falsa
A afirmativa é verdadeira
Ver solução completaQuestão 4
Considere as seguintes afirmações:
- O núcleo e o espaço linha de uma matriz real são subespaços do e a soma de suas dimensões é igual a .
- O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real são subespaços, respectivamente, do e do , e suas dimensões são iguais.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é verdadeira e é falsa
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira
A afirmativa é falsa e é verdadeira
A afirmativa é falsa e é falsa
Ver solução completaQuestão 5
Suponha que a matriz é e que sua imagem é gerada pelo vetor .
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
O núcleo de é o conjunto de soluções de
O núcleo de é gerado pelo vetor
O núcleo de é o conjunto de soluções de
A imagem de é o conjunto de soluções de
Ver solução completaQuestão 6
Note que, se é a matriz formada pelas colunas ,, então o produto tam entrada dada por
onde denota o produto interno usual.
Seja a matriz formada pelas colunas , , , onde é um conjunto ortonormal. Pode-se afirmar que:
é invertível
A imagem de é igual ao núcleo de
Ver solução completaQuestão 7
Seja . Indique a alternativa VERDADEIRA
O complemento ortogonal ao núcleo de é
O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas colunas de é
O complemento ortogonal ao núcleo de é
O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas linhas de é
Ver solução completaQuestão 8
Seja a matriz da projeção ortogonal no conjunto-solução do sistema:
Qual a Dimensão de
(a)
(b) 3
(c) 4
(d)
Ver solução completaQuestão 9
Seja uma matriz qualquer. Considere as afirmativas abaixo:
Se é injetiva, então é sobrejetiva.
Se é sobrejetiva, então é injetiva.
(a) é verdadeira e é falsa
(b) Ambas são falsas
(c) é falsa e é verdadeira
(d) Ambas são verdadeiras
Ver solução completaQuestão 10
A norma da projeção ortogonal do vetor na imagem de uma matriz é igual a 3. Calcule a norma da projeção ortogonal de no núcleo de
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completaQuestão 11
Qual dos sistemas abaixo sempre possui solução?
, onde
, onde
, onde
, onde
Ver solução completaQuestão 12
é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual a dimensão do Núcleo de ?
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Questão 13
Seja um subespaço de e o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:
Existe um vetor de que não pertence à soma de e .
A dimensão de é maior ou igual à dimensão de
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então .
Ver solução completaQuestão 14
Considere a matriz , onde os asteriscos detotam valores quaisquer. Se a imagem de é o plano , então o valor de é:
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Questão 15
Seja . Indique a alternativa VERDADEIRA
O complemento ortogonal do núcleo de é
O complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas de é
O complemento ortogonal do espaço gerado pelas colunas de é
O complemento ortogonal do núcleo de é
Ver solução completaQuestão 16
Seja uma matriz quadrada, , um vetor não-nulo tal que e . Qual dos vetores abaixo não pertence à imagem de , a matriz transposta de ?
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Questão 19
Seja o subespaço do gerado pelos vetores e . Queremos escrever como um núcleo de uma matriz, isto é, procura-se uma matriz tal que . Se definirmos
então pode ser construída:
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .
Ver solução completaQuestão 20
Considere as seguintes afirmações:
Seja uma matriz. Então a soma da dimensão da imagem de com a dimensão do núcleo da transposta de é igual a .
Se é uma matriz cujas colunas formam um conjunto ortogonal, então é uma matriz quadrada diagonal.
A alternativa é verdadeira e é verdadeira.
A alternativa é verdadeira e é falsa.
A alternativa é falsa e é falsa.
A alternativa é falsa e é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 21
Seja A uma matriz e considere as afirmativas.
(I) Para todo existem e tais que
(II) Para todo existem únicos vetores e tais que e
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 22
Suponha que a matriz é e que o seu núcleo é o plano . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
O núcleo de é o plano
O núcleo de é a reta na direção do vetor
A imagem de é a reta na direção do vetor
A imagem de é a reta na direção do vetor
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