Responde Aí
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Projeção ortogonal de vetores

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Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí! E vamos nessa entender tudo sobre a Projeção Ortogonal de Vetores.

Deixa eu começar com uma perguntinha: Como relacionar o conceito de projeção de vetores em um plano para projeção de vetores em um espaço?

Você deve estar pensando, nós vamos usar bastante geometria né?? E se eu não visualizar as coisas??! Na verdade, não vamos fazer nada disso, nada será desenhado ou visualizado, porque não precisa! Só vou desenhar mesmo para ficar bem claro.

Projeção ortogonal

Podemos projetar e refletir vetores usando Transformações Lineares. Vamos, então, construir uma transformação que projete o vetor em um espaço vetorial.

Vamos pegar um espaço vetorial que represente o plano

E seu complemento ortogonal é:

Agora vamos considerar um vetor que faz parte de , o vetor que pertence a , e o vetor que não pertence a nenhum dos dois.

Vetores no
Vetores no

Vamos projetar todos esses vetores no plano

Projeção do vetor qualquer em

Acho que vc deve ter projetado vários vetores na física. Para fazer a projeção em um plano construímos um triângulo retângulo lembra?

Projeção de vetor plano
Projeção de vetor plano

Nesse caso não será diferente! O ângulo que nos utilizaremos é o ângulo formado entre o vetor e o plano que queremos projetá-lo.

Se a gente tivesse o módulo de a projeção seria:

Projetando um vetor que pertence a em

E como seria a projeção do vetor em ? É só a gente olhar pro ângulo entre e , que é exatamente

Ora, ora, se o resultado não é o próprio módulo do vetor!

Isso acontece pois o vetor já pertence ao espaço !

Projetando em um vetor que pertence ao complemento

E o que acontece se a gente tentar projetar o vetor em ?

Observando a imagens, vemos que o ângulo entre e é de .

Olha só, deu zero!

Se você pensar bem, é até meio óbvio né, já que é perpendicular à

Projeção ortogonal no

Tudo que a gente viu a cima vale não somente pro , mas sim pro inteirinho!

E usando as transformações lineares podemos definir a projeção assim:

Definição de Projeção
Definição de Projeção

O que está escrito acima basicamente diz que se um vetor pertence à um espaço vetorial, a projeção dele sobre esse espaço é o próprio vetor. E se pegarmos um outro vetor pertencente ao seu complemento ortogonal e projetarmos ele nesse mesmo espaço, sua projeção dará zero.

Sabendo a imagem da base do nosso domínio, o , fica fácil de montar a sua transformação! Mas pra que eu vou querer achar a expressão da ?? Porque com ela você calcula a projeção de TODOS os vetores do seu espaço em cima de , sem usar cossenos e nem senos.

Outro motivo é que você está tendo facilidade aqui porque usamos o plano , que é fácil de visualizar. Quando for um plano muito louco, ou algo em um espaço de dimensão maior, essa história de senos e cossenos não vai dar muito certo haha.

Encontrando a TL da Projeção

Bom, vamos ver um exemplo:

Vamos calcular a que projeta um vetor do sobre o plano

Passo 1:

Encontrar uma base para o espaço onde se quer projetar e para seu complemento ortogonal.

Pela equação do plano temos que . Logo, o vetor genérico desse plano tem essa cara:

Portanto, uma base para esse subespaço seria:

Quanto ao complemento ortogonal sabemos que é a reta perpendicular ao plano. Sua base pode ser dada pelos coeficientes da equação do plano, sendo assim:

Com isso, chegamos a uma base do :

Sabemos, portanto, que todo vetor pode ser escrito em função dessa base:

Passo 2: A imagem da base do espaço onde se quer projetar, será a própria base. A imagem da base do complemento ortogonal será zero.

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade e usando do fato acima temos:

Passo 3: Para encontrarmos a equação da precisamos dos valores de e . Repare que não é mais necessário, já que foi zerado. Então:

Resolvendo o sistema, temos:

Passo 4: Substituímos na equação da :

E prontinho! Encontramos a

Matriz que representa a

Nós já sabemos como achar a matriz a partir de uma , mas não custa nada relembrar né. Se quiséssemos achar a matriz dessa do exemplo acima, como faríamos? Bom, é só desmembrar a :

Logo, nossa matriz é:

Agora vamos falar de algo interessante! Essa é a matriz canônica da nossa certo? Podemos aplicar qualquer vetor do nela.

Mas e se quiséssemos encontrar , onde é a base formada pela base do subespaço onde estamos projetando e pela base de seu complemento ortogonal?

Vamos pensar um pouco. No exemplo que vimos a base era dada por:

Se escrevermos o vetor em função dessa base teríamos o que?

Logo:

Isso é bem óbvio né?

Analogamente, teríamos:

Ta, mas o que deve acontecer se aplicarmos o vetor em nossa ? Bom, deve retornar pois ele está no plano onde estamos projetando. Seguindo essa lógica, temos que:

Logo,

Opa, notou alguma coisa? Bom, primeiro de tudo, a matriz será sempre diagonal! E, seguindo a ordem da base, os números da diagonal te dizem o que acontece com ela. Como assim? Vou explicar!

O primeiro vetor da base tem ele mesmo como imagem, então temos um lá em cima. O segundo vetor da base
também tem ele mesmo como imagem, então temos um novamente. Já o terceiro vetor tem o como imagem, daí o na matriz ;)

Bizus

Galeraaa, tenho uns bizus muito bons pra vocês aqui! São sobre a matriz projeção! Se liga:

  • A matriz projeção sempre será simétrica!
  • O traço da matriz projeção é a dimensão do espaço no qual ela está projetando!!! No nosso exemplo aí de cima estávamos projetando sobre um plano, então o traço da matriz é .
  • Se é uma matriz projeção, então

Videoaula

Pra ficar fera no assunto, que tal ver uma videoaula maneira?!

E aqui em baixo tem um monte de exercícios pra você praticar! 👇

Projeção ortogonal no

Encontrando a TL da Projeção

Bizus

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 e 164 – Prob 5.5 e Ext 5.2

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 t , - t ∈ R 2 ; p a r a   t ∈ R

b   n = 3 , projeção ortogonal sobre o plano x = z

c   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 x - 4 y = 0

d   n = 2 , projeção ortogonal na reta s p a n 0 , - 2

e   n = 4 , projeção ortogonal sobre o plano x - w = 0 y = z

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 2 , - 1 .

Seu complemento ortogonal é dado pela reta gerada pelo vetor 1,2 , logo, definimos a base para o R 2 :

β = 2 , - 1 , 1,2

E temos que:

P 2 , - 1 = 2 , - 1

P 1,2 = 0,0

Então:

x , y = a 2 , - 1 + b 1,2

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 2 , - 1 + b P 1,2

P x , y = a 2 , - 1 + 0

Passo 2

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 2 , - 1 + b 1,2

x = 2 a + b y = - a + 2 b       I I I

Fazemos 2 I - I I :

2 x - y = 4 a + 2 b + a - 2 b

2 x - y = 5 a

a = 2 x - y 5

Substituindo na transformação:

P x , y = 2 x - y 5 2 , - 1 = 4 x - 2 y 5 , - 2 x + y 5

Passo 3

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 4 x - 2 y 5 - 2 x + y 5 = 4 5 - 2 5 - 2 5 1 5 x y

Logo, temos:

P = 4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

Passo 4

b   O vetor geral do plano é dado por:

x , y , x = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0

Então, uma base para ele é:

1,0 , 1 , 0,1 , 0

E temos que:

P 1,0 , 1 = 1,0 , 1

P 0,1 , 0 = 0,1 , 0

Seu complemento ortogonal será a reta perpendicular ao plano. A equação do plano é:

x - z = 0

Logo, uma base para seu complemento é o vetor perpendicular a ele, que pode ser dado pelos coeficientes da equação do plano:

1,0 , - 1

E temos que:

P 1,0 , - 1 = 0,0 , 0

Passo 5

Sabemos que unindo a base do plano com a base de seu complemento, temos uma base para o R 3 :

β = 1,0 , 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , - 1

Então:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + c 1,0 , - 1

P x , y , z = a P 1,0 , 1 + b P 0,1 , 0 + c P 1,0 , - 1

P x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + 0

Passo 6

Agora falta achar quanto vale a e b em função de x , y , z . Repare que não precisamos mais de c .

x = a + c y = b z = a - c       I I I I I I

Fazendo I + I I I :

x + z = 2 a ⇒ a = x + z 2

E de I I temos que:

b = y

Logo,

P x , y , z = x + z 2 1,0 , 1 + y 0,1 , 0 = x 2 + z 2 , y , x 2 + z 2

Passo 7

Abrindo a T L :

P x , y , z = x 2 + z 2 y x 2 + z 2 = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 x y z

Dessa forma, a matriz será dada por:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Passo 8

c Primeiro passo é achar o vetor que gera essa reta. Temos pela equação da mesma que:

2 x = 4 y ⇒ x = 2 y

Logo, o vetor genérico é da forma 2 y , y = y 2,1 . Ou seja, é uma projeção na direção do vetor 2,1 .

Como estamos no R 2 , o complemento ortogonal dela será uma outra reta gerada pelo vetor - 1,2 . Temos então a base:

β = 2,1 , - 1,2

E temos que:

P 2,1 = 2,1

P - 1,2 = 0,0

Então:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 2,1 + b P - 1,2

P x , y = a 2,1 + 0

Passo 9

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 2,1 + b - 1,2

x = 2 a - b y = a + 2 b       I I I

Fazemos 2 I + I I :

2 x + y = 4 a - 2 b + a + 2 b

2 x + y = 5 a

a = 2 x + y 5

Substituindo na transformação:

P x , y = 2 x + y 5 2,1 = 4 x + 2 y 5 , 2 x + y 5

Passo 10

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 4 x + 2 y 5 2 x + y 5 = 4 5 2 5 2 5 1 5 x y

Logo, temos:

P = 4 5 2 5 2 5 1 5

Passo 11

d É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 0 , - 2 . Perceba, no entanto, que ela é a mesma reta gerada pelo vetor 0,1 ;)

Seu complemento ortogonal é dado pela reta gerada pelo vetor 1,0 . Logo, definimos a base para o R 2 :

β = 0,1 , 1,0

E temos que:

P 0,1 = 0,1

P 1,0 = 0,0

Então:

x , y = a 0,1 + b 1,0

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 0,1 + b P 1,0

P x , y = a 0,1 + 0

Passo 12

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 0,1 + b 1,0

x = b y = a

Temos direto que a = y

Substituindo na transformação:

P x , y = y 0,1 = 0 , y

Passo 13

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 0 y = 0 0 0 1 x y

Logo, temos:

P = 0 0 0 1

Passo 14

e   Como temos

x = w

y = z

O vetor geral do plano é dado por:

x , y , y , x = x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 1,0

Então, uma base para ele é:

1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0

E temos que:

P 1,0 , 0,1 = 1,0 , 0,1

P 0,1 , 1,0 = 0,1 , 1,0

Seu complemento ortogonal será o plano perpendicular ao plano. MAS O QUE? Bom estamos no R 4 , então esse tipo de doidera pode acontecer haha. Mas o procedimento para achar os vetores perpendiculares não será muito diferente. A equação do plano é:

x - w = 0 y - z = 0

Logo, uma base para seu complemento pode ser dada pelos coeficientes de suas equações:

1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,0

E temos que:

P 1,0 , 0 , - 1 = 0,0 , 0,0

P 0,1 , - 1,0 = 0,0 , 0,0

Passo 15

Sabemos que unindo a base do plano com a base de seu complemento, temos uma base para o R 4 :

β = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0 , 1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,0

Então:

x , y , z , w = a 1,0 , 0,1 + b 0,1 , 1,0 + c 1,0 , 0 , - 1 + d 0,1 , - 1,0

P x , y , z , w = a P 1,0 , 0,1 + b P 0,1 , 1,0 + c P 1,0 , 0 , - 1 + d P 0,1 , - 1,0

P x , y , z , w = a 1,0 , 0,1 + b 0,1 , 1,0 + 0 + 0

Passo 16

Agora falta achar quanto vale a e b em função de x , y , z :

x = a + c y = b + d z = b - d w = a - c       I I I I I I I V

Fazendo I + I V :

x + w = 2 a ⇒ a = x + w 2

Fazendo I I + I I I :

y + z = 2 b ⇒ b = y + z 2

Logo,

P x , y , z , w = x + w 2 1,0 , 0,1 + y + z 2 0,1 , 1,0 = x + w 2 , y + z 2 , y + z 2 , x + w 2

Passo 17

Desmembramos a transformação:

P x , y , z , w = x + w 2 y + z 2 y + z 2 x + w 2 = 1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 x y z w

Dessa forma, a matriz erá dada por:

P = 1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2

Resposta

a   4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

b   1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

c   4 5 2 5 2 5 1 5

d 0 0 0 1

e   1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2

Exercício Resolvido #2

Lista 5 de monitoria para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, exercício 1-a), PUC-rio.

Sejam u = 1 , 2,2 ,   v = 1,1 , 0 e   w = ( 1,0 , 1 ) vetores do R 3 . Calcule a projeção ortogonal de u em H = s p a n { v , w } , utilizando a transformação projeção ortogonal, sabendo que u ∉ s p a n { v , w } .

Passo 1

Bom, como sabemos que u ∉ H , então vamos ver se pertence ao complemento ortogonal de H .

Achemos primeiro o complemento ortogonal:

1,1 , 0 , x , y , z = 0

1,0 , 1 , x , y , z = 0

Montando o sistema:

x + y = 0 ⇒ - z + y = 0 ⇒ y = z x + z = 0 ⇒ x = - z

Assim, o complemento ortogonal é:

x , y , z = - z , z , z = z ( - 1,1 , 1 )

Como ( 1 , 2,2 ) não é múltiplo de ( - 1,1 , 1 ) , u ∉ H ⊥ .

Passo 2

Só nos resta agora calcular a expressão em si da nossa projeção. Para isso, precisamos de uma base para o nosso domínio. Como já temos os geradores de H e H ⊥ , uma possível base para o domínio, e muito conveniente, é:

β = 1,1 , 0 , 1,0 , 1 , - 1,1 , 1

Então, vamos começar a construir nossa P H :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + c - 1,1 , 1 ⇒

P H x , y , z = a P H 1,1 , 0 + b P H 1,0 , 1 + c P H - 1,1 , 1 ⇒

P H x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + 0

Passo 3

Agora falta achar quanto vale a . b em função de x , y , z . Repare que não necessitamos de c , já que o vetor que o multiplicava pertencia ao complemento ortogonal de H , e a projeção deste é zero.

x = a + b - c y = a + c z = b + c       I I I I I I

Fazendo I + ( I I ) :

x + y = 2 a + b ( I V )

E I + ( I I I ) :

x + z = a + 2 b ⇒ a = x + z - 2 b ( V )

Substituindo V em   ( I V ) :

x + y = 2 x + 2 z - 4 b + b ⇒

3 b = x + 2 z - y ⇒

b = x + 2 z - y 3 ∴

x + z = a + 2 x + 4 z - 2 y 3 ⇒

3 x + 3 z = 3 a + 2 x + 4 z - 2 y ⇒

3 a = x - z + 2 y ∴

a = x - z + 2 y 3

Passo 4

Logo, nossa fórmula fica:

P H x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 ⇒

P H x , y , z = x - z + 2 y 3 1,1 , 0 + x + 2 z - y 3 1,0 , 1 ⇒

P H x , y , z = 2 x + z + y 3 , x - z + 2 y 3 , x + 2 z - y 3

E finalmente P H ( 1,2 , 2 ) vale:

P H 1,2 , 2 = ( 2,1 , 1 )

Resposta

P H 1,2 , 2 = ( 2,1 , 1 )

Exercício Resolvido #3

Lista 2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, exercício 7 adaptado, PUC-rio.

Sejam H ⊂ R n um subespaço vetorial, P H a projeção ortogonal sobre H e v ∈ H :

a   mostre que v - P H v ∈ H ⊥ ;

b   mostre que o conjunto { v - P H v ,   P H v - w } é ortogonal para todo w ∈ H .

Passo 1

( a ) Bom, vamos lembrar aqui que se algo pertence ao complemento ortogonal, então:

P H v - P H v = 0 ⇒

P H v - P H P H v = 0

Mas como v ∈ H , então P H v = v e assim:

v - P H v = 0 ∴

v - v = 0

Como v - v = 0 , a letra ( a ) está provada XD.

Passo 2

-

( b ) Agora temos que verificar se o conjunto é ortogonal. Então, se ele é ortogonal, o produto interno entre seus elementos dará zero. Vamos fazer isso.

v - P H v , P H v - w ∴ v , P H v - w + - P H v , P H v - w ∴

v , P H v + v , - w + - P H v ,   P H v + - P H v , - w ∴

Agora vamos aplicar que v ∈ H :

v , v - v , w - v , v + v , w = 0

Nós realmente esperávamos que o resultado desse zero, porque assim vemos que eles são ortogonais entre si.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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