Exercícios de Complemento Ortogonal e Soma Direta - Lista de Exercícios Resolvida

Seja o conjunto dos vetores do cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então , o complemento ortogonal de , é:

Um plano

Um hiperplano

O

Uma reta

Seja um espaço vetorial de dimensão .

Seja um subespaço gerado por vetores não nulos de .

Então a dimensão do complemento ortogonal de pode ser no máximo igual a .

A afirmativa é falsa.

A afirmativa é verdadeira.

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

“Se é soma direta dos subespaços e , então é o complemento ortogonal de . Noutras palavras, se , então . (Lembre: se, e somente se, , ”

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial , tem-se que da seguinte maneira:

Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de e !)

À questão “No espaço munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de ”, Biazinha escreveu:

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Seja o espaço gerado pelas linhas de . Qual a dimensão do complemento ortogonal de ?

Seja A uma matriz 5 × 7. A faixa de valores possíveis para a dimensão d do complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas dessa matriz é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial , tem-se que da seguinte maneira:

Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de e !)

Seja o espaço gerado pelos vetores , e . Qual a dimensão do complemento ortogonal de ?

Seja o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.

e

c) Calcule complemento ortogonal de

À questão “No espaço munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de ”, Biazinha escreveu:

Defina “complemento ortogonal de um subespaço vetorial ”

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Calcule corretamente .

Seja a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial acima. Calcule ,onde é a base canônica de .

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

Se é soma direta dos subespaços e , então é o complemento ortogonal de . Noutras palavras, se , então . (Lembre: se, e somente se, ,

Seja o conjunto dos vetores do cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então , o complemento ortogonal de , é:

Um plano

Um hiperplano

O

Uma reta

Considere o espaço com seu produto interno usual:

Seja um subespaço de .

Determine uma base para , o complemento ortogonal de .

Determine uma base ortonormal para a partir de e .

Determine o ângulo entre os polinômios e

Seja uma transformação linear cuja dimensão do núcleo é . A dimensão do espaço ortogonal à imagem de é:

Seja o espaço dos polinômios de grau , com um produto interno dado.

O complemento ortogonal do espaço gerado pelos vetores tem dimensão:

1

Seja o espaço gerado pelas linhas de . Qual a dimensão do complemento ortogonal de ?

Considere os subespaços de (com usual) abaixo:

Encontre uma base para .