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Operadores Autoadjuntos e Ortogonais

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Teoria

Vamos sair um pouco agora de produto interno e dar um pulinho lá em transformações lineares!

Primeira coisa, lembra o que é um operador linear? É simplesmente uma transformação linear que tem o domínio e o contra domínio iguais!

Operadores Autoadjuntos

Sendo assim, seja V um espaço vetorial, temos que o operador linear T : V → V é autoadjunto (ou simétrico) se a matriz que o representa em uma base ortonormal β de V é simétrica. Sim, isso vale para qualquer base ortonormal haha.

Exemplo:

O operador T : R 2 → R 2 dado por T x , y = 4 x + 2 y , 2 x + 5 y é simétrico.

Se escrevermos sua matriz na base canônica (que é uma base ortonormal do R 2 ) teremos:

T ϵ = 4 2 2 5

Como essa matriz é simétrica, o operador é simétrico. Fácil né?

Então, o problema aparece quando o cara define um produto interno diferente para o espaço em questão! Quando isso acontece, a base canônica que tanto amamos pode deixar de ser ortonormal!

Mas não tema! Tem uma propriedade muito legal de operadores adjuntos que pode ser útil nessa hora! Se liga, todo operador adjunto obedece à igualdade abaixo para quaisquer dois vetores u e v :

T u , v = u , T v

Pra testar isso você pode tanto usar vetores genéricos como testar dois a dois vetores de uma base do domínio de T ;)

Propriedades

Aqui vão mais algumas propriedades dos operadores autoadjuntos. Se T , U : V → V são operadores simétricos:

  • T u , v = u , T v
  • T + U é simétrico;
  • k T , k ∈ R , é simétrico;
  • T U é simétrico se, e somente se, T U = U T ;
  • T - 1 é simétrico;

Operadores Ortogonais

Seja V um espaço vetorial, temos que o operador linear T : V → V é ortogonal se a matriz que o representa em uma base ortonormal β de V é ortogonal. Esse também vale para qualquer base ortonormal.

Exemplo:

O operador T : R 2 → R 2 dado por T x , y = 3 2 x + 1 2 y , - 1 2 x + 3 2 y é ortogonal.

Se escrevermos a matriz de T na base canônica, que é uma base ortonormal teremos:

T ϵ = 3 2 1 2 - 1 2 3 2

Se essa matriz é ortogonal então 3 2 , 1 2 , - 1 2 , 3 2 é um conjunto ortonormal. De fato:

3 2 , 1 2 , - 1 2 , 3 2 = 0

3 2 , 1 2 , 3 2 , 1 2 = 3 4 + 1 4 = 1

- 1 2 , 3 2 , - 1 2 , 3 2 = 1 4 + 3 4 = 1

Os vetores são ortogonais e têm norma 1 , logo T é ortogonal.

Novamente, o problema entra quando definimos um novo produto interno haha. Mas aqui também temos uma propriedade legal com o produto interno. Na verdade, temos duas. Todo operador ortogonal obedece às igualdades abaixo para quaisquer dois vetores u e v :

T u = u

T u , T v = u , v

E é isso aí, partiu exercícios!

Propriedades

Operadores Ortogonais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Diga se os operadores lineares abaixo são autoadjuntos:

a T : R 2 → R 2 , dado T x , y = x 2 - 3 y , 3 x + 2 y

b T : R 3 → R 3 , dado T 4 , 4 , - 2 = 2 6,30,14 , T 4 , - 2,4 = 20,6 , 2 , T 1 , - 2 , - 2 = - 1 , - 18 , - 7

c T : R 2 → R 2 , dado T x , y = U V x , y + U - 1 x , y + 7 V x , y , onde:

U : R 2 → R 2 , dado U x , y = x + y , x + y

V : R 2 → R 2 , dado V x , y = x + 2 y , 2 x + y

Passo 1

a A matriz que representa T na base canônica (ortonormal) é:

T = 1 2 - 3 3 2

Como essa matriz não é simétrica, temos que T não é autoadjunto.

Passo 2

b E agora? Vamos ter que achar a T L ? Não, não vamos! Primeira coisa, repare que o conjunto 4,4 , - 2 , 4 , - 2,4 , 1 , - 2 , - 2 é uma base do R 3 . Se liga:

4 4 - 2 4 - 2 4 1 - 2 - 2 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← - 4 L 3 + L 1 4 4 - 2 0 - 6 6 0 12 6 → L 3 ← L 3 + 2 L 2 4 4 - 2 0 - 6 6 0 0 18

Nenhuma linha zerou, então os vetores são L I e formam uma base do R 3 . Então só precisamos testar aquela propriedade dois a dois:

v 1 , v 2 , v 3 =   4,4 , - 2 , 4 , - 2,4 , 1 , - 2 , - 2

T u , v = u , T v

T v 1 , v 2 = v 1 , T v 2

2 6,30,14 , 4 , - 2,4 = 4,4 , - 2 , 20,6 , 2

100 = 100

T v 2 , v 3 = v 2 , T v 3

20,6 , 2 , 1 , - 2 , - 2 = 4 , - 2,4 , - 1 , - 18 , - 7

4 = 4

T v 1 , v 3 = v 1 , T v 3

2 6,30,14 , 1 , - 2 , - 2 = 4,4 , - 2 , - 1 , - 18 , - 7

- 62 = - 62

Ufa, acabou! Deu tudo certinho, então o operador é autoadjunto!

Passo 3

Ok, temos um operador linear definido como uma mistura de operações de outros dois! Vamos começar verificando se os outros dois são autoadjuntos:

U x , y = x + y , x + y

U = 1 1 1 1

V x , y = x + 2 y , 2 x + y

V = 1 2 2 1

As matrizes que representam ambas os operadores na base canônica são simétricas! Logo, elas são autoadjuntas. Pelas propriedades de matrizes adjuntas sabemos que como U e V são simétricos:

  • 7 V é simétrico;
  • U - 1 é simétrico;
  • U V é simétrico se U V = V U

Bom, precisamos verificar essa última aí:

U V = U V = 1 1 1 1 1 2 2 1 = 3 3 3 3

V U = V U = 1 2 2 1 1 1 1 1 = 3 3 3 3

Opa, temos que U V = V U , então todos os termos de T são simétricos! Por fim sabemos que a soma de operadores autoadjuntos é um operador autoadjunto. Logo, T x , y é autoadjunto!

Resposta

a Não

b   Sim

c Sim

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Diga se os operadores abaixo são ortogonais:

a T : R 3 → R 3 , dado T x , y , z = 2 7 x + 6 7 y - 3 7 z , 3 7 x + 2 7 y + 6 7 z , - 6 7 x + 3 7 y + 2 7 z

b T : R 2 → R 2 , dado T x , y = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ , x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ

Passo 1

a A matriz que representa T na base canônica é:

T = 2 7 6 7 - 3 7 3 7 2 7 6 7 - 6 7 3 7 2 7

Vamos ver se as linhas formam um conjunto ortonormal. Para isso precisamos que:

2 7 , 6 7 , - 3 7 , 2 7 , 6 7 , - 3 7 = 1

4 49 + 36 49 + 9 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

3 7 , 2 7 , 6 7 , 3 7 , 2 7 , 6 7 = 1

9 49 + 4 49 + 36 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

- 6 7 , 3 7 , 2 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 1

36 49 + 9 49 + 4 49 = 1

49 49 = 1

1 = 1

Todos os vetores são normais. Vamos ver se são ortogonais também!

Passo 2

2 7 , 6 7 , - 3 7 , 3 7 , 2 7 , 6 7 = 0

6 49 + 12 49 - 18 49 = 0

0 = 0

3 7 , 2 7 , 6 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 0

- 18 49 + 6 49 + 12 49 = 0

0 = 0

2 7 , 6 7 , - 3 7 , - 6 7 , 3 7 , 2 7 = 0

- 12 49 + 18 49 - 6 49 = 0

0 = 0

As linhas formam um conjunto ortonormal, então T é um operador ortogonal.

Passo 3

b A matriz que representa T na base canônica é:

T = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Vamos verificar as colunas:

cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ = 0

- sin ⁡ θ cos ⁡ θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

0 = 0

cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , sin ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

1 = 1

- sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ = 1

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 = 1

As colunas formam um conjunto ortonormal, logo, T é um operador ortogonal.

Resposta

a Sim

b Sim

Exercício Resolvido #3

UFPE, Álgebra Linear, P3/2015.2, 3

Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por

T x , y , z = z 2 - x 2 , x + z 2 , y

Considere para o espaço vetorial R 3 o produto interno a , b , c , d , e , f = 2 a d + b e + c f . O operador T é autoadjunto? E o operador T é ortogonal?

Passo 1

Para o operador ser autoadjunto precisamos que, para quaisquer vetores u e v :

T u , v = u , T v

Temos que:

T u = T u 1 , u 2 , u 3 = u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2

Analogamente:

T v = v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2

Substituindo na fórmula:

u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2 , v 1 , v 2 , v 3 = u 1 , u 2 , u 3 , v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2

v 1 u 3 - 2 v 1 u 1 2 + v 2 u 1 + v 2 u 3 2 + v 3 u 2 = v 3 u 1 - 2 v 1 u 1 2 + v 1 u 2 + v 3 u 2 2 + v 2 u 3

Ta uma zona isso aí, com certeza não é igual haha. Então T não é autoadjunto.

Passo 2

Para que T seja ortogonal, precisamos que:

T u , T v = u , v

Usando os resultados do Passo 1:

u 3 2 - u 1 2 , u 1 + u 3 2 , u 2 , v 3 2 - v 1 2 , v 1 + v 3 2 , v 2 = u 1 , u 2 , u 3 , v 1 , v 2 , v 3

u 3 v 3 2 - u 1 v 3 2 - u 3 v 1 2 + u 1 v 1 + u 1 v 1 + u 3 v 1 2 + u 1 v 3 2 + u 3 v 3 2 + u 2 v 2 = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

0 = 0

Opa, deu certinho! Logo, nosso operador T é ortogonal!

Resposta

T não é autoadjunto mas é ortogonal.

Exercício Resolvido #4

UFS, Operadores Ortogonais, Curso de Licenciatura em Matemática, Professores Danilo Felizardo Barboza e Wilberclay Gonçalves Melo.

Verifique se o operador T x ,   y = ( x + y ,   y ) é ortogonal.

Passo 1

Sabemos que para que um operador seja ortogonal, temos que ter:

u = T u

Então o que vamos fazer aqui é escolher um vetor u qualquer e verificar se a condição acima é satisfeita para o operador T beleza?

Passo 2

Escolhendo u = ( 2 ,   1 ) , queremos que:

| | ( 2 ,   1 ) | | = T 2 ,   1

Aplicando o operador dado no enunciado, temos:

T 2 ,   1 = 2 + 1 ,   1 = ( 3 ,   1 )

Daí, temos que o módulo de T ( 2 ,   1 ) vai ser

T 2 ,   1 = 3 2 + 1 ² = 10

Porém:

( 2 ,   1 ) = 2 2 + 1 2 = 5

Poxa, então:

| | ( 2 ,   1 ) | | ≠ T 2 ,   1

E portanto, o operador T não é ortogonal :(

Resposta

Não é ortogonal :(

Exercício Resolvido #5

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP

Considere o espaço vetorial R 3 com o produto interno usual e seja T o operador linear sobre R 3 definido por:

T x ,   y ,   z = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ ,   x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ ,   z

onde θ é um ângulo fixo. Mostre que T é um operador ortogonal.

Passo 1

Para mostrarmos que T é ortogonal, primeiro vamos escrever esse operador em uma matriz na base canônica:

T = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Para mostrarmos que é ortogonal, vamos verificar o produto interno entre os elementos das colunas beleza?

Passo 2

Fazendo os produtos internos:

cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ ,   0 ,   - sin ⁡ θ ,   cos ⁡ θ ,   0 = - cos ⁡ θ . sin ⁡ θ + sin ⁡ θ . cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 = 0

0 ,   0 ,   1 ,   - sin ⁡ θ ,   cos ⁡ θ ,   0 = 0

Aeee, deu tudo 0, isso quer dizer que o operador é ortogonal :)

Resposta

Demonstração.

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