Prove, utilizando esferas, que, para uma mesma morfologia, quanto maior o tamanho da partícula, menores os valores de e .
Passo 1
Temos que provar que quanto maior o tamanho da partícula, ou seja, quanto maior o diâmetro dela, menores vão ser e para ela. Lembrando as fórmulas deles:
O lance de “para uma mesma morfologia”, é que se você está falando, por exemplo, de um cilindro de diâmetro , quando for analisar um diâmetro , tem que pegar um cilindro também, né! Não pode começar a frase em grego e acabar em espanhol; se começar em um idioma, tem que terminar naquele mesmo idioma. Da mesma forma, se começa analisando uma forma geométrica, faz toda a sua análise com aquela forma.
Show! Vamos precisar das fórmulas de área superficial () e de volume () da esfera:
Passo 2
Bora começar pelo , porque já temos as fórmulas para área superficial e volume da esfera. Vamos escrever o para uma esfera genérica de diâmetro :
Substituindo:
Simplificando:
Ou seja, repara que o é proporcional a , isto é, ele é inversamente proporcional ao diâmetro.
E a constante de proporcionalidade (), no caso da esfera, é , já que, como já achamos:
Daí, quanto maior o diâmetro da esfera, menor o , menor a relação área superficial por volume:
Provado!
Passo 3
Já provamos o . Provar o agora é de boas. Já vimos, no exercício 2, que:
Rearranjando:
Já calculamos que pra esfera:
Substituindo:
Daí, assim como para o , o é inversamente proporcional ao diâmetro . A única coisa que muda é a constante de proporcionalidade (), que pro da esfera é:
Daí:
Provamos também : )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)