Responde Aí
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Integração de Romberg

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Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

Vimos até agora que podemos usar métodos numéricos para obter a solução de uma integral definida do tipo:

∫ a b f x d x

Costumamos fazer essa aproximação por partes, em pontos dentro do intervalo, e normalmente usando pontos com mesma distância entre si.

Talvez você se lembre dos assuntos passados, quando falamos dos métodos dos trapézios e método 1/3 de Simpson ...

Nãooooooooooo, não é desse tipo de Simpson que estamos falando hahahahha

Pois bem, quando usamos esses métodos comparativamente e usando a mesma quantidade de pontos, a precisão do método de Simpson acaba sendo maior que a do método dos trapézios. Até aí tudo suave né?

E onde é que entra o método de Romberg?

O tal do Romberg viu que poderia melhorar e aumentar a precisão da regra dos trapézios aplicando um negócio chamado “extrapolação para o limite” de Richardson... Maaaaaaaaaaaaas vamos focar no nosso coleguinha Romberg.

Como calcular

Basicamente o Método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da extrapolação de Richardson à uma quadratura composta de maior exatidão.

A determinação da integral é dada por:

I ≅ ∫ a b f x d x = h k 2 [ f a + f b + 2 ∑ i = 1 2 k - 1 f ( a + i . h k ) ]

Onde:

h k = b - a 2 k - 1

Aqui, h k representa a amplitude entre cada subintervalo.

Quando k = 1 , o limite superior será igual a zero e não precisaremos usar outros termos.

A primeira coisa que iremos fazer para resolver a integral é definir uma nova notação:

R k , j

Onde:

k = 1,2 , … , n

j = 1,2 , … , k

Aí meus caros, temos que ter um valor inicial... certo?

Primeiro quando k = 1 :

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Generalizando para k = 2,3 , … , n ficamos com:

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

Para situações em que j > 2 :

R k , j = R k , j - 1 + R k , j - 1 - R k - 1 , j - 1 4 j - 1 - 1

Parece confuso? Mas calma... já vamos entender para que serve tudo isso:

E para isso, conseguimos construir uma tabela com a seguinte aparência:

Montamos esse modelo, dependendo do k e chegamos no onde queremos e na resposta certa quando o erro for:

E = R n , n - R n - 1 , n R n , n < ε

Agora, chega de papo furado e bora fazer exercícios pra fixar bem o conteúdo. Bora lá?

Como calcular

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Adaptado de Aula 8, Integração Numérica da Estácio

Utilize o conteúdo aprendido para realizar o primeiro passo da Integração de de Romberg para obter uma aproximação para a integral abaixo com k = 1,2 , 3   .

I = ∫ 0 π s e n x d x

Passo 1

Vamos determinar os termos R k , 1 :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Para k = 1 :

R 1,1 = ( b - a ) 2 f a + f b

R 1,1 = ( π - 0 ) 2 s e n ( π ) + s e n ( 0 )

R 1,1 = 0

Passo 2

Para k = 2 :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + h 1 . f a + h 2 ]

h k = b - a 2 k - 1

h k = b - a 2

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + b - a . f a + b - a 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ 0 + π - 0 . s e n 0 + π - 0 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ π . s e n π 2 ]

R 2,1 = π 2 = 1,5708

Passo 3

Para k = 3 consideramos :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 3 , 1 = 1 2 { R 2 , 1 + h 2 . [ f a + h 3 + f a + 3 . h 3 ]

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + h 2 . [ f a + h 3 + f a + 3 . h 3 ]

h 3 = b - a 2 k - 1 = b - a 4

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + b - a 2 . f a + b - a 4 + f a + 3 . b - a 4 }

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + π - 0 2 . f 0 + π - 0 4 + f 0 + 3 . π - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + π - 0 2 . f 0 + π - 0 4 + f 0 + 3 . π - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { 1,5708 + π 2 . f π 4 + f 3 . π 4 }

R 3,1 = 1 2 { 1,5708 + π 2 . s e n π 4 + s e n 3 . π 4 }

R 3,1 = 1,8962

Resposta

Exercício Resolvido #2

Autoria do Responde Aí

A implementação do método de Romberg é muito importante para facilitar a resolução numérica de integrais.Defina as entradas necessárias para essa implementação numérica:

Passo 1

Para iniciar o programa, primeiro precisamos definir a função a ser implementada, os limites de integração e o número de iterações:

F=função a ser integrada

Xi=intervalo inicial de integração

Xf= intervalo final de integração

N= número de iterações

Resposta

F

Xi

Xf

N

Exercício Resolvido #3

Autoria do Responde Aí

Encontre o valor da integral abaixo com k = 1 :

∫ 0 1 e x 2 d x

Passo 1

Consideramos aqui f x = e x 2

A primeira coisa que faremos é calcular o passo h k : h k = b - a 2 k - 1

Se k = 1 ; a = 0   e   b = 1 :

h k = 1 - 0 2 1 - 1 = 1 1 = 1

Passo 2

Utilizando as fórmulas dadas k = 1 :

R 1,1 = h k 2 f a + f b

R 1,1 = 1 2 f 0 + f 1

R 1,1 = 1 2 f 0 + f 1

Se:

f x = e x 2

f 0 = e 0 = 1

f 1 = e 1 2 = e 1

R 1,1 = 1 2 1 + e 1 = 1,8591

Resposta

R 1,1 = 1 2 1 + e 1 = 1,8591

Exercício Resolvido #4

Adaptado de material “ejemplo del método de Romberg”

Encontre o valor da integral abaixo com k = 3 :

∫ 0 1 x 2 e - x d x

Passo 1

Aqui, levamos em consideração 3 subintervalos e então precisaremos dos seguintes termos conforme tabela:

Lembrando que toda fez que aparecer a notação f ( x ) aplicamos o valor usado como x na função f x = x 2 e - x

Passo 2

Agora, calculamos os valores de pontos para k = 1   e   j = 1 com base nas equações usadas no exercício 1:

R 1,1 = b - a 2 f a + f b

R 1,1 = 1 - 0 2 f 0 + f 1 = 0,1839

Para k = 2   e   j = 1 :

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + b - a . f a + b - a 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ 0,1839 + 1 - 0 . f 0 + 1 - 0 2 ]

R 2,1 = 1 2 0,1839 + . f 1 2 = 0,1678

Para k = 3   e   j = 1 :

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + a - b 2 . f a + a - b 4 + f a + 3 . a - b 4 }

R 3,1 = 1 2 { 0,1678 + 1 - 0 2 . f 0 + 1 - 0 4 + f 0 + 3 . 1 - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { 0,1678 + 1 2 . f 1 4 + f 3 . 1 4 = 0,1625

Passo 3

Agora calculamos a segunda coluna da tabela onde   j = 2 :

Para k = 2   e   j = 2 :

R k , j = R k , j - 1 + R k , j - 1 - R k - 1 , j - 1 4 j - 1 - 1

R 2 , 2 = R 2 , 1 + R 2 , 1 - R 1 , 1 4 2 - 1 - 1

R 2,2 = 0,1678 + 0,1678 - 0,1839 4 - 1 = 0,1624

Para k = 3   e   j = 2 :

R 3 , 2 = R 3 , 1 + R 3 , 1 - R 2,1 4 2 - 1 - 1

R 3,2 = 0,1625 + 0,1625 - 0,1624 4 - 1 = 0,1607

E por ultimo, calculamos para k = 3   e   j = 3

R 3,2 = R 3 , 2 + R 3 , 2 - R 2 , 2 4 3 - 1 - 1

R 3,2 = 0,1607 + 0,1607 - 0,1624 4 2 - 1 = 0,1606

Resposta

∫ 0 1 x 2 e - x d x = 0,1606

Exercício Resolvido #5

Autoria do Responde Aí

Para resolver uma integral qualquer em um dado intervalo, suponha que k = 10 quantos termos precisaríamos encontrar a resposta final da Integral definida?

Passo 1

Vamos montar a tabela dos termos calculáveis R de k , j . Considerando k = l i n h a s e j = c o l u n a s . Partindo do principio de que k = 10 , nosso j = 10 também. Então, podemos construir uma tabela 10x10.

Maaaaaaaaaas... nem todos os espaços da tabela podem ser preenchidos e nós os preenchemos gradativamente, conforme a coluna. Sempre o coeficiente k da linha é o mandante e os coeficientes j < k de cada coluna são apagados. Montamos uma tabela com essa aparência:

Somando tudo, temos 55 termos calculáveis até que possámos chegar na resposta R 10,10 .

Resposta

55 termos.

Exercício Resolvido #6

Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 8

O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sin ⁡ x = 0 e cos ⁡ x + 1 = 0 . Aplique o Método de Newton-Raphson com x 0 = 3 e precisão 10 - 3 em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.

Passo 1

Cálculos Iniciais

f x = sin ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

g x = x - t g x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.14255

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.14255 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.14255

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.14159

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000954 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14159 .

Passo 2

Cálculos Iniciais

f x = 1 + cos ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x

g x = x + 1 + cos ⁡ x s i n x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.07091

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.07091 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.07091

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.10627

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0,03536 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.10627

ε = 10 - 3

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.12393

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01766 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.12393

ε = 10 - 3

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.13276

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00883 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.13276

ε = 10 - 3

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 3.13718

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00441 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 3.13718

ε = 10 - 3

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 3.13939

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00221 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 3.13939

ε = 10 - 3

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = 3.14049

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.0011 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 7 = 3.14049

ε = 10 - 3

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = 3.14104

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 0.00055 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14104 .

Passo 3

Po, na primeira tivemos que fazer só 2 iterações e na segunda 8 ! E não só isso, com aquelas 2 iterações conseguimos uma precisão MUITO maior do que com as 8 da segunda função. Por que isso? Cara, se liga, praticamente sempre que esse método demorar muito (tipo 8 iterações haha) é por causa daquele história da derivada!

Para f x = sin ⁡ x , temos f ' x = cos ⁡ x . No zero da função temos f ' π = - 1 , bem longe de zero.

Já para f x = 1 + cos ⁡ x , temos f ' x = - sin ⁡ x . No zero da função temos f ' π = 0 . E taí o motivo de demorar bem mais usando essa função ;)

Resposta

f x = sin ⁡ x : x - = 3.14159 ; 2 iterações.

f x = 1 + cos ⁡ x : x - = 3.14104 ; 8 iterações.

Na primeira função nós não só precisamos de bem menos iterações como também conseguimos uma precisão muito maior.

Isso acontece porque para a primeira função nós temos f ' π = - 1 . Já para a segunda nós temos f ' π = 0 . O fato de a derivada valer 0 na raiz da equação dificulta o método, fazendo com que ele precise de um número maior de iterações para obter uma precisão inferior.