Teoria

Introdução

Fala meu jovenzito. Já estudamos até agora, alguns métodos diferentes para fazer a interpolação polinomial né?

E relembramos que valores igualmente espaçados (também chamados de nós) ...

Não esse tipo de nó... Hahahaha

Imagina que temos os seguintes pontos de uma função :

Percebe que os valores de x estão igualmente espaçados? A diferença deles nesse caso sempre é igual a 1.

Quando eles são igualmente espaçados, a fórmula de Newton pode ser simplificada, transformada na fórmula de Gregory-Newton.

Que cá entre nós, é só um nome chique para um caso particular do polinômio de Newton, pra pontos igualmente espaçados.

Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador

Nós temos alguns pontos (os famigerados nós de interpolação) x 0 ,   x 1 ,   e   x n usaremos a fórmula de Newton-Gregory pra achar o polinômio interpolador p ( x ) , e esses pontos seguem um “passo” h . Isso significa que a cada passo x somamos h .

x k + 1 = x k + h

Na tabela anterior o passo h = 1 .

Moleza, né?

Existe um operador de diferença adiantada que é a diferença entre   f ( x   +   h ) - f ( x ) :

∆ 0 f ( x )   =   f ( x )  

∆ 1 f ( x )   =   f ( x   +   h ) - f ( x )  

∆ 2 f ( x )   =   ∆ ( ∆ f ( x ) )  

.   .   .  

∆ n f ( x )   =   ∆ ( ∆ ( n - 1 ) f ( x ) )

Para ficar mais simples de entender vamos montar uma tabela:

Vamos completar a tabela para o caso do exemplo de cima:

Fórmula de Gregory-Newton

Para montar o polinômio y 0 = P ( x 0 ) e com a notação dos deltas calculados anteriormente, ficamos com:

P n x = ∆ 0 f x + x - x 0 ∆ 1 f x 1 ! h 1 + x - x 0 x - x 1 ∆ 2 f x 2 ! h 2 + … … + x - x 0 x - x 1 … x - x n - 1 ∆ n f x n ! h n  

Pensando no exemplo anterior vamos encontrar o polinômio y 0 = P ( x 0 ) :

P n x = ∆ 0 f x + x - x 0 ∆ 1 f x 1 ! h 1 + x - x 0 x - x 1 ∆ 2 f x 2 ! h 2 + x - x 0 x - x 1 x - x 2 ∆ 3 f x 3 ! h 3

P n x = 2 + x - ( - 1 ) - 1 1 ! 1 1 + x - ( - 1 ) x - 0 2 2 ! 1 2 + x - ( - 1 ) x - 0 x - 1 0 3 ! 1 3

P n x = x ² + 1

Esse polinômio é empregado em diversos graus de complexidade. Bora calcular exercícios que esse é molezinha !!!!

Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador

Fórmula de Gregory-Newton