Erro na Interpolação
Teoria
Introdução Erro Exato
Fala meus amigos, tudo certinho? Veja bem, quando nós estudamos anteriormente os polinômios interpoladores nós vimos que são aproximações de uma função real, e essas aproximações podem ser tãaaaaaaao próximas quanto nós quisermos. O lance é, como toda aproximação, nossa função terá um erro (tava demorando né?).
Então, vamos dar uma estudada nesse erro da interpolação! Vamos aprender um negócio que basicamente é apresentar um limitante pro erro envolvido na aproximação de uma função feita por um polinômio interpolador.
Imagina a seguinte situação:
Seja . Usando a tabela abaixo encontre um polinômio interpolador de grau e calcule:
(a) uma aproximação para
(b) o erro desta aproximação
(c) um limitante para o erro
(d) uma aproximação para o erro assumindo que não é conhecida.
Usaremos esse exemplo para explicar a teoria, vem comigo!
Primeiro o item (a).
O exercício está pedindo uma aproximação para . Já aprendemos vários métodos para calcular uma aproximação e podemos usar qualquer um deles porém, como em seguida o exercício pede o erro, faça pelo método de Newton (a menos que o enunciado mande você fazer por outro método, é claro). Isso porque para calcular a aproximação do erro precisamos da tabela de diferenças divididas! Então já que vamos ter que montá-la de qualquer jeito, aproveitamos e já fazemos a aproximação pelo método de Newton.
Uma dica: se você quer estimar o erro em um polinômio de grau , calcule os operadores até grau já que vamos precisamos do maior operador diferenças divididas de ordem ! (não se preocupe logo fará sentido!). Nesse caso, o polinômio que o exercício quer é de grau então vamos fazer a tabela até ,
Passo 1. Vamos montar nossa tabela! Ela fica assim:
Repare que com nós poderíamos ter calculado até a Ordem , mas como não vamos precisar dela melhor evitarmos trabalho haha.
Passo 2. Como queremos uma aproximação para , vamos usar , e . Da tabela, temos:
Nosso polinômio de grau é:
Passo 3. Nossa aproximação será:
Erro Exato
Para resolver o item (b), precisamos saber o que é o erro exato.
Como já falamos anteriormente, sempre que realizamos uma aproximação não obtemos o valor verdadeiro da função certo? (justamente por se tratar de uma aproximação). Existe um erro entre o polinômio e a função, e a diferença entre os dois nós chamamos de Erro Exato.
Tendo uma função e sua função interpoladora , calculamos o erro como:
Pronto! já sabemos responder o item (b) do nosso exemplo:
O erro exato é:
Limitante para o erro
O item (c) pede uma limitante para o erro. Ou seja, ele quer saber o erro máximo que seu polinômio interpolador vai ter naquele intervalo que você está aproximando . E como fazemos isso?
Seja uma função definida e (n+1) vezes diferenciável num intervalo [a,b]. Nós temos os pontos , , ..., , (n+1), que são pontos igualmente espaçados.
Ou seja, se deste intervalo. Se interpola nestes pontos, então o limitante superior para o erro é dado:
E o o valor máximo do módulo das derivadas de ordem de no intervalo , ou seja, o maior valor em módulo das derivadas da função aplicadas no intervalo
Mas, o que são pontos não serem equidistantes? Então:
Vamos tentar resolver o item (c) agora?
Para encontrarmos um limitante para o erro precisamos da derivada terceira de para calcular o valor Máximo :
Como essa função é contínua, decrescente e positiva no intervalo , ela terá seu maior valor em módulo em , onde:
Como os valores de são igualmente espaçados de :
Repare que usando essa forma, o resultado independe do valor , ou seja, obtemos o valor máximo do erro no intervalo .
Estimativa para o erro
No último item do nosso exemplo pede uma aproximação para o erro assumindo que não é conhecida. Veja bem, o problema vem agora. Geralmente não conhecemos nossa (daí a necessidade de encontrarmos uma aproximação), e o nosso nunca é conhecido, na maioria dos casos não podemos calcular o erro e nem um limitante para ele! Além disso, nem sempre a aproximação baseada em todos os pontos é a que se aproxima mais do valor verdadeiro.
Lembra que lá no começo, na hora de calcular a aproximação pelo método de Newton, eu falei para calcularmos ? Uma ordem acima da necessária para o polinômio? Então agora que ele entra em cena.
Bom, por sorte algum maluco percebeu que:
Onde são os operadores diferenças divididas de ordem ! Nesse caso, dizemos que:
Voltando agora para o nosso exemplo:
Imaginamos que não conhecemos a e vamos calcular uma aproximação para o erro. O maior operador diferenças divididas de ordem é:
Aplicando agora a fórmula:
Que é uma aproximação razoável para .
Pronto galera! Concluímos o exemplo. Partiu botar em prática agora!
Erro Exato
Limitante para o erro
Estimativa para o erro
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 256, exercício 2
Verifique que na interpolação linear
onde .
Passo 1
Como na interpolação linear nós só temos dois pontos, sempre podemos dizer que os pontos são igualmente espaçados haha. Logo, sempre é válida a fórmula:
Substituindo já que estamos usando interpolação linear,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 257, exercício 5
Queremos construir uma tabela que contenha valores de para pontos igualmente espaçados no intervalo .
Qual deve ser o menor número de pontos desta tabela para se obter, a partir dela, o , usando interpolação linear com erro menor que para qualquer no intervalo .
Passo 1
Nesse caso usaremos o número de pontos como uma forma de “dimensionar o ”. Em uma interpolação linear temos apenas dois pontos separados por uma distância . Logo, sempre podemos dizer que:
Vamos começar encontrando . Precisamos da derivada segunda de :
Como o erro deve ser menor que no intervalo , usamos o valor máximo de nesse intervalo como . E esse valor é em , onde .
Passo 2
Agora precisamos escrever em função do número de pontos. Então vamos montar uma tabelinha:
Com essa relação podemos substituir tudo na fórmula:
Resolvendo a equação de segundo grau, temos:
Como não faz sentido termos um número de pontos negativo e nem quebrado, pontos.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Lista 4 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 5
Deseja-se construir uma tabela da função no intervalo com pontos igualmente espaçados. Seja o passo. Qual o valor máximo de para que o erro da interpolação linear em qualquer ponto do intervalo seja menor ou igual a .
Passo 1
Em uma interpolação linear temos apenas dois pontos separados por uma distância . Logo, sempre podemos dizer que:
Vamos começar encontrando . A derivada segunda de é ela mesma. Também sabemos que é crescente e positiva em , logo tem seu maior valor em , onde .
Passo 2
Agora basta substituirmos tudo na fórmula:
Como a diferença entre os pontos é medida em módulo, .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Lista 4 – Professora Angela – UFRJ – Questão 5
Seja a função , calcule uma aproximação para , utilizando o polinômio de Newton sabendo que ; ; . Dar um limitante superior para o erro.
Passo 1
Vamos começar montando a tabela de operadores diferenças divididas:
Como temos apenas pontos, vamos encontrar um polinômio interpolador de grau .
Passo 2
Definimos , e e tiramos da tabela que:
Substituindo no polinômio temos:
Passo 3
Nossa aproximação será:
Passo 4
Como os pontos estão igualmente espaçados, um limitante superior para o erro pode ser dado por:
Temos que e . Só falta acharmos . Para isso, precisamos da derivada terceira de :
Como queremos o maior módulo de em , basta acharmos o máximo de . Como é decrescente e positiva em , seu máximo está em , onde temos .
Substituindo tudo na nossa equação:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 257, exercício 7
Sabendo-se que a equação admite uma raiz no intervalo , determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática. Estime o erro cometido, se possível.
Passo 1
Vamos começar montando uma tabela com alguns pontos:
O que vamos fazer agora é escrever como função de e não mais como função de . Ficamos com:
Assim nós não precisamos encontrar o zero do polinômio interpolador. Podemos jogar o zero direto no que vamos encontrar! Agora é só seguirmos o passo a passo de sempre ;)
Como ele quer uma função de interpolação quadrática, precisamos de pontos. Vamos usar , e . Além disso para estimarmos a incerteza precisamos de um quarto ponto para obtermos um operador diferenças divididas de ordem . Vamos usar então o . A tabela fica:
Passo 2
Da tabela tiramos que:
Substituindo no polinômio:
Substituindo ,
Passo 3
Agora para estimar o erro usamos a fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 257, exercício 6
Consideremos o problema de interpolação para , numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo , usando um polinômio de grau. Fazendo , , mostre que:
Passo 1
Temos que:
Como estamos usando um polinômio interpolador de segundo grau, temos , e precisamos da derivada terceira de :
E temos que o valor máximo que assume em é . Sendo assim, substituindo e os valores de e dados:
Passo 2
Não é isso que queríamos né? Po, mas se é sempre menor que , então se acharmos o máximo do polinômio , então teremos um máximo geral para o erro! Vamos tentar isso!
O máximo de certamente é um ponto crítico de , então:
Substituindo esses valores na função:
Logo,
Substituindo, temos:
Aê, agora sim! Esse era o valor que precisávamos!
Passo 3
Repare que aquela informação dos pontos serem igualmente espaçados era só pra te enganar mesmo haha! Se usasse a fórmula você ia chegar em:
que não é o resultado que ele quer haha.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #7
Lista 6 – Professora Susana – Questão 3
Suponha que é aproximada em por um polinômio interpolador em pontos distintos equidistantes . Determine tal que o erro seja menor que
Passo 1
Como temos pontos equidistantes podemos usar a fórmula:
Temos muitas incógnitas aí né? Vamos diminuir isso um pouco. Primeiro escrevemos em função de . Lembrando que aqui é o número de partes em que o intervalo foi dividido e não o número de pontos!
Passo 2
Agora vamos dar um jeito nesse .
Bom, se for ímpar, a derivada de ordem de seno será um seno. O sinal do seno não importa já que estamos interessados no módulo dele. Nesse caso, que é o valor de .
Se for par, a derivada de ordem de seno será um cosseno. Nesse caso, que é o valor de .
Então para cuidar desses dois casos vamos usar a variável :
Vamos substituir ambos os casos na nossa fórmula e achar o mínimo que satisfaz a equação.
Passo 3
Caso par:
Se , temos:
Se , temos:
Logo, .
Passo 4
Caso ímpar:
Se , temos:
Se , temos:
Se , temos:
Logo,
Passo 5
Sendo assim, o menor é .
Resposta