Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 25
25.
a) Aplique analítica e algebricamente os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel no sistema:
b) Repita o item (a) para o sistema obtido usando permutações
c) Analise os resultados
Passo 1
a) E ai meu bom!
Se liga só! Vamos começar nossa resolução usando o método de Gauss-Jacobi. Calculemos o :
E depois, o :
Como podemos ver aí, o maior dos alfas é o que é bem maior do que . Logo, pelo método de Gauss-Jacobi o método não vai convergir não, hein!
Passo 2
b) Vamos ver agora, em relação ao método de Gauss-Seidel...
Calculemos o :
E depois, o :
O maior valor de beta, que é o ainda é maior que . Pelo que também o sistema não vai convergir pra solução.
Passo 3
b) Agora vamos recorrer às permutações...
Para o nosso sistema, temos o exposto na seguinte matriz...
Trocando as linhas e dividindo a primeira linha por ...
Fazendo receber :
E depois, dividindo por :
Por último, basta fazer receber :
Obtemos então, sequências convergentes e a seguinte solução abaixo:
Passo 4
c) E como podemos ver aí, apesar de trabalhoso, o método permutativo de Gauss-Jordan ainda é bem eficiente na resolução de sistemas lineares.
Quanto ao método de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi tem a condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, i. e., de modo que fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exata do sistema linear. Como nosso sistema segundo o critério de convergência desses dois, não deu certo, então babou!
Nisso é que o Gauss-Jordan às vezes, quebra o galho!
Resposta
a)
b)