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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 27

27. Deduza a aproximação (2) para y ' ' ( x i ) usando a aproximação de y ( x ) por p 2 ( x ) conforme sugerido no texto.

Passo 1

E aí meus queridos(as)!

Se liga só! Seja x i um ponto no interior do nosso intervalo!

Sabemos que...

y x i + h = y x i + y ' x i h + y ' ' x i h 2 2 + y ' ' ' x i h 3 6 + y i v μ i h 4 4 !

E...

y x i - h = y x i - y ' x i h + y ' ' x i h 2 2 - y ' ' ' x i h 3 6 + y i v v i h 4 4 !

Em que μ i ∈ ( x i , x i + h ) e y i   ∈ ( x i - h , x i ) .

Passo 2

Somando as duas equações, temos que...

y x i - h + y x i + h = 2 y x i + y ' ' x i h 2 + ( y i v μ i + y i v v i ) h 4 4 !

Logo, podemos considerar a seguinte aproximação...

y ' ' ( x i ) ≈ y x i - h - 2 y x i + y ( x i + h ) h 2

E o erro local dessa aproximação é dado por...

E = y ' ' x i - y x i + h - 2 y x i + y ( x i - h ) h 2 =

= y i v μ i + y i v v i   h 2 4 ! ≤ M 12 h 2

Onde M > 0 para todo a < x < b .

Resposta

E = y ' ' x i - y x i + h - 2 y x i + y ( x i - h ) h 2 =

= y i v μ i + y i v v i   h 2 4 ! ≤ M 12 h 2

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