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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 4

Considere a equação: 𝑓 𝑥   =   2 𝑥 2 − 5 𝑥 + 2 = 0 , cujas raízes são. Considere ainda os processos iterativos:

a) 𝑥 𝑘 + 1 =   2 𝑥 2 + 2 5 ,

b) 𝑥 𝑘 + 1 =   5 𝑥 𝑘 2 − 1 .

Qual dos dois processos você utilizaria para obter a raiz x1? Por que?

Passo 1

Opa, tudo certinho? Para fazer essa questão, teremos que lembrar das regras de convergência para métodos iterativos. Lembre-se que nem toda função 𝜓 𝑥   pode ser útil para obter a raiz aproximada de 𝑓 𝑥 .

Para convergir, 𝜓 𝑥   𝑒   𝜓 ′ 𝑥 devem ser contínuas e 𝜓 ′ 𝑥   <   1 no intervalo que contém a raiz.

Passo 2

Realizando as verificações na primeira função:

𝑓 𝑥 =   2 𝑥 2 + 2 5   →   𝑓 ′ 𝑥 =   4 𝑥 5

Ambas contínuas em ℝ  

𝑓 ′ 𝑥   <   1   →   4 𝑥 5   <   1

− 5 4 <   𝑥   <   5 4

Analisando a função 2:

𝑓 𝑥   =   5 𝑥 𝑘 2 − 1 →   𝑓 ′ 𝑥 =   5 2 5 𝑥 − 2 20 𝑥 − 8

𝑓 ′ 𝑥   <   1   →     5 2 5 𝑥 − 2 20 𝑥 − 8   <   1

𝑓 ′ 𝑥   <   1     𝑝 𝑎 𝑟 𝑎   𝑥   >   1.025

Passo 3

Agora que achamos os intervalos, basta analisarmos qual a melhor função. Verificamos que o processo definido em 𝑎   é a melhor escolha por conter uma raiz em seu intervalo, no caso, 0.5 .

Resposta

Escolheria a função 𝑎   pois 𝜓 ′ 𝑥   <   1   num intervalo que contém a raiz.

Exercícios de Livros Relacionados

Justifique que a equação: 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 − 𝑒 𝑥 = 0 Possui uma raiz no intervalo 0,1 e outra no intervalo 2,3 .
Dadas as funções:a) 𝑥 3 + 3 𝑥 − 1 = 0 Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
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A equação: x 2 - a   =   0     possui uma raiz x ¯   =   a     . Explicar algebricamente e geometricamente por que a sequência x k , obtida através do processo iterativo definido por: x k + 1 = a x k