Justifique que a equação:

𝑓 𝑥 = 4 𝑥 − 𝑒 𝑥 = 0

Possui uma raiz no intervalo 0,1 e outra no intervalo 2,3 .

Passo 1

Opa, tudo de boa? Mais uma questãozinha de cálculo numérico, bora lá? Vamos novamente usar aquele teorema que nos garante a existência de raízes num dado intervalo.

𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0

Se em dois pontos a multiplicação das imagens das funções resultarem em um valor negativo, isso nos garante que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo 𝑎 , 𝑏 . Vamos começar atribuindo valores para 𝑥   e verificar se existe alguma mudança de sinal!

Passo 2

Dessa vez, ao invés de atribuir valores aleatórios para 𝑥   , vamos atribuir os valores dos intervalos que o exercício nos forneceu e verificar se teremos sinais diferentes na imagem de 𝑓 𝑥 :

Observe que os intervalos fornecidos pelo enunciado satisfazem o nosso teorema pois, temos uma mudança de sinal que vai garantir que 𝑓 0 × 𝑓 1   < 0   𝑒   𝑓 2 × 𝑓 3 < 0 , logo existe uma raiz em cada intervalo.

Resposta

A função possui raiz nos intervalos 0,1   𝑒   2,3 .

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