Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 1a
Dadas as funções:
a)
Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.
Passo 1
Opa, tudo de boa? Vamos descobrir os intervalos em que a função possui raízes, para isso devemos considerar o seguinte teorema:
Se em dois pontos a multiplicação das imagens das funções resultarem em um valor negativo, isso nos garante que o gráfico da função vai cortar o eixo x em pelo menos um ponto. Basicamente precisamos determinar um intervalo em que há uma mudança de sinal no valor numérico da função. Para fazer isso, vamos atribuir vários valores para x e verificar seus valores ao serem substituídos na função.
Sei que ficou um pouco confuso, mas calma que com a resolução fica mais tranquilo de entender, então bora lá!
Passo 2
Vamos iniciar com a função , precisamos encontrar valores em que a função é zero ou intervalos de valores que satisfazem o teorema apresentado.
Observe que o único intervalo que satisfaz o nosso teorema é o intervalo pois, temos uma mudança de sinal que vai garantir que , logo existe uma raiz nesse intervalo.
Para verificar que a raiz é única nesse intervalo, precisaremos derivar a função e calcular seu valor numérico para , se os dois valores forem positivos ou os dois forem negativos, a raiz será única, caso contrário, teremos mais de uma raiz.
Passo 3
Derivando então , obtemos:
Calculando e :
Como os dois valores possuem o mesmo sinal, teremos uma única raiz no intervalo .
Finalizamos nossa análise!
Resposta
A função possui uma única raiz que está no intervalo .