Dadas as funções:

a) 𝑥 3 + 3 𝑥 − 1 = 0

Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em intervalos.

Passo 1

Opa, tudo de boa? Vamos descobrir os intervalos em que a função possui raízes, para isso devemos considerar o seguinte teorema:

𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0

Se em dois pontos a multiplicação das imagens das funções resultarem em um valor negativo, isso nos garante que o gráfico da função vai cortar o eixo x em pelo menos um ponto. Basicamente precisamos determinar um intervalo em que há uma mudança de sinal no valor numérico da função. Para fazer isso, vamos atribuir vários valores para x e verificar seus valores ao serem substituídos na função.

Sei que ficou um pouco confuso, mas calma que com a resolução fica mais tranquilo de entender, então bora lá!

Passo 2

Vamos iniciar com a função 𝑥 3 + 3 𝑥 − 1 = 0 , precisamos encontrar valores em que a função é zero ou intervalos de valores que satisfazem o teorema apresentado.

Observe que o único intervalo que satisfaz o nosso teorema é o intervalo 0,0.5 pois, temos uma mudança de sinal que vai garantir que 𝑓 0 × 𝑓 0.5 < 0 , logo existe uma raiz nesse intervalo.

Para verificar que a raiz é única nesse intervalo, precisaremos derivar a função e calcular seu valor numérico para 𝑥   =   0   𝑒   𝑥   =   5   , se os dois valores forem positivos ou os dois forem negativos, a raiz será única, caso contrário, teremos mais de uma raiz.

Passo 3

Derivando então 𝑓 𝑥 , obtemos:

𝑓 ′ 𝑥 =   3 𝑥 2 + 3

Calculando 𝑓 ′ 0 e 𝑓 ′ 0.5   :

𝑓 ′ 0   =   3   >   0

𝑓 ′ 0.5   =   3.75   >   0

Como os dois valores possuem o mesmo sinal, teremos uma única raiz no intervalo 0,0.5 .

Finalizamos nossa análise!

Resposta

A função possui uma única raiz que está no intervalo 0,0.5 .

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