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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 5

Considere as seguintes funções:

a) 𝜓 1 𝑥 =   2 𝑥 − 1

b) 𝜓 2 𝑥 =   𝑥 2 − 2 𝑥   + 2

c) 𝑥 2 − 3 𝑥 + 3

Verifique que 1 é raiz de todas estas funções. Qual delas você escolheria para obter a raiz 1, utilizando o processo iterativo 𝑥 𝑘 + 1 =   𝜓 𝑥 𝑘 ? Com a sua escolha, exiba a sequência gerada a partir da condição inicial 𝑥 0   =   1.2   .  

Passo 1

Eaii? Tudo em cima? Esse exercício pede muitas coisas, então vamos fazer tudo seguindo um passo a passo para não ficarmos doidos. Primeiramente iremos verificar se 1 é raiz de todas as funções.

𝜓 1 = 2 × 1 − 1 = 1  

𝜓 2 = 1 2 − 2 × 1 + 2 = 1

𝜓 3 = 1 2 − 3 × 1 + 3 = 1

Passo 2

Para determinar qual processo escolher para obter uma aproximação da raiz 1, devemos analisar a convergência de cada função e escolher a que contém o intervalo onde 1 está presente:

𝜓 1 𝑥 =   2 𝑥 − 1   →   𝜓 ′ 𝑥 =   2   →   2   <   1

𝜓 2 𝑥 =   𝑥 2 − 2 𝑥 + 2   →   𝜓 ′ 𝑥 =   2 𝑥 − 2   →   2 𝑥 − 2   <   1   →   1 2 <   𝑥   <   3 2

𝜓 3 𝑥 = 𝑥 2 − 3 𝑥 + 3   →   𝜓 ′ 𝑥   =   2 𝑥 − 3   →   2 𝑥 − 3   <   1   →   1   <   𝑥   <   2

Passo 3

Agora que achamos os intervalos, basta analisarmos qual a melhor função. Verificamos que a função 𝑏   é a melhor escolha por conter uma raiz de valor 1 em seu intervalo que é mais preciso. Para finalizar o exercício vamos fazer algumas iterações usando o processo 𝑏   utilizando x0 = 1.2:

𝑥 1   =   1.2 2 − 2 1.2 + 2   =   1.04

𝑥 2   =   1.04 2 − 2 1.04 + 2   =   1.0016

…

Resposta

O processo a ser utilizado seria 𝑏   . 𝑥 1   =   1.04 ,   𝑥 2   =   1.0016 ,   … .

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