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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 7

A equação: x 2 - a   =   0 possui uma raiz x ¯   =   a . Explicar algebricamente e geometricamente por que a sequência x k , obtida através do processo iterativo definido por: x k + 1 = a x k , não converge para a qualquer que seja o valor de x 0   .

Passo 1

Eaii? Tudo em cima? Vamos novamente utilizar as regras de convergência de processos iterativos lineares para resolver esta questão, em específico, utilizaremos a seguinte expressão:

ψ x <   1

Que, dadas ψ x   e   ψ ' x contínuas em R   , teremos a certeza de que a expressão iterativa convergirá para a raiz x ¯ . Dessa forma poderemos expressar algebricamente o que o exercício pede.

Passo 2

Utilizando a expressão citada acima na derivada da função:

ψ ' x =   2 x   < 1   →   - 1 2 <   x   <   1 2

Logo a deve estar entre o intervalo que acabamos de encontrar.

Passo 3

Analisando geometricamente a função, considerando a=1, obtemos:

Analisando o gráfico e impondo que ψ ' x   <   1 , vemos que em qualquer vizinhança de a existe pelo menos um ponto onde ψ ' x = 1 , o que nos prova que independentemente do valor de x 0   , x k + 1 = a x k não converge para a .

Resposta

Na vizinhança de a existem pontos onde ψ ' x   =   1 .

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