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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 5

Considere os seguintes números: 𝑥 1   =   33   , 𝑥 2   =   0.132   e 𝑥 3   =   32.013   que estão na base 4. Escreva-os na base 5.

Passo 1

Opa! Bora para mais um exercício??

Essa questão pede para mudarmos três números que estão na base 4 e levá-lo para a base 5. Primeiramente precisaremos passar todos eles para base 10 (decimal) para facilitar nossa vida e, assim, através de divisões e/ou multiplicações por 5, poderemos representá-lo na base desejada.

Passo 2

Passando 𝑥 1 ,   𝑥 2 ,   𝑥 3   para a base 10:

𝑥 1   =   33 4   =   3 × 4 1 + 3 × 4 0 = 15 10

𝑥 2   =   0.132 4 =   1 × 4 − 1 + 3 × 4 − 2 + 2 × 4 − 3 = 0,46875 10

𝑥 3   =   32.013 4   =   3 × 4 1 + 2 × 4 0 + 0 × 4 − 1 + 1 × 4 − 2 + 3 × 4 − 3 = 14.109375 10

Passo 3

Agora que passamos da base 4 para a base 10, vamos dividir os resultados por cinco (que é a base que desejamos) até que não seja possível mais realizar divisões inteiras. Devemos também nos atentar aos restos dessas divisões.

𝑥 1   =   15 10   →   15   ÷   5     →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0 ,   𝑟 𝑒 𝑠 𝑢 𝑙 𝑡 𝑎 𝑑 𝑜   =   3

Como 3 é menor que 5, não dá para dividir mais e também será considerado como um resto. Assim basta pegar esses restos da direita para a esquerda e teremos nosso número na base 5.

𝑥 1   =   33 4   =   30 5

Para 𝑥 2   =   0.46875 10 , por ter uma parte decimal, teremos que utilizar o método da multiplicação, nesse caso multiplicaremos pela base que desejamos que é 5:

0.46875   ×   5   =   2.34375   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   2  

0.34375   ×   5   =   1.71875   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0.71875   ×   5   =   3.59375   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   3  

0.59375   ×   5   =   2.96875   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   2  

…

Devemos repetir esse processo até encontrarmos o valor 1, ou uma repetição de algum resultado das multiplicações, mas para não lotar de contas aqui, iremos representar o número na base 5 da seguinte forma:

𝑥 2   =   0.2132 … 5

Por fim transformaremos 𝑥 3   =   14.109375 10   usando os dois métodos anteriores já que este número tem um valor inteiro 14 e um valor decimal 0.109375 :

𝑥 3   =   14 10   →   14   ÷   5   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   4 ,   𝑟 𝑒 𝑠 𝑢 𝑙 𝑡 𝑎 𝑑 𝑜   =   2

𝑥 3   𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑖 𝑛 𝑡 𝑒 𝑖 𝑟 𝑎 =   24 5

Agora fazendo a parte decimal:

𝑥 3 𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑑 𝑒 𝑐 𝑖 𝑚 𝑎 𝑙 = 0.109375 10

0,109375   ×   5   =   0.546875   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.546875   ×   5   =   2.734375   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   2  

0.734375   ×   5   =   3.671875   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   3  

0.671875   ×   5   =   3.359375   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   3  

0.359375   ×   5   =   1.796875   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

…

Novamente irei parar por aqui para não encher de contas, mas as condições de parada já foram mencionadas anteriormente.

𝑥 3 𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑒   𝑑 𝑒 𝑐 𝑖 𝑚 𝑎 𝑙   =   0.02331 … 5

Agora é só juntar a parte inteira com a parte decimal!

𝑥 3   =   32.013 4 =   24.02331 … 5

Ufa! Acabamos por aqui!

Resposta

𝑥 1   =   30 5

𝑥 2   =   0.2132 … 5

𝑥 3   =   24.02331 … 5

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