Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaaaaaaala meus caros, vamos adentrar em mais um conteúdo sobre resolução de EDO’s ... pois é, ainda estamos falando sobre a temida.

Já vimos bastante coisa falando sobre a resolução de PVI (Problemas de valor inicial).

Vimos alguns casos onde aproximamos PVC (problemas de valores do contorno), que basicamente são EDO’s com condições impostas em diferentes pontos.

Bora começar entender o que é o tal do método de Shooting! A tradução literal é “tiro”, relaxa que aqui não tem nada de tiro, porrada e bomba hahahha.

Basicamente, o método e Shooting tem como objetivo de aproximar a solução encontrada de uma equação para a solução exata dentro de uma determinada fronteira. Esse método é baseado na conversão de um PVC em um PVI.

Método de Shooting linear

Aqui vamos estudar apenas o método de Shooting para casos simples para solucionar PVC.

Então, considere PVC (linear) que desejamos encontrar a solução numérica no intervalo a , b .

O PVC tem a seguinte cara:

P V C   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈ [ a , b ] y a = ∝ y b = β

O método de Shooting consiste em tomar dois PVI associados em PVF.

Os dois PVI são dados por:

( P V I - 1 )   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈ [ a , b ] y a = ∝ y a = 0

( P V I - 2 )   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈   ] a , b ] y a = 0 y b = 1

Perceba que as equações são as mesmas. Mas com condições diferentes.

Aqui, os PVI-1 e PVI-2 possuem cada um uma única solução. Onde y 1 x é solução de PVI-1 e y 2 x é solução de PVI-2. Existe uma equação que mostra que podemos ter a solução do PVC com:

y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x   ,   s e   x ∈ [ a , b ]

Podemos resolver numericamente usando o método de Euler ou Runge-Kutta. Ao usar um método numérico para obter a solução do PVI-1 e PVI-2 , teremos as soluções numéricas onde: ( x k , y 1 , k )   e ( x k , y 2 , k ) , usando Runge-Kutta, temos que :

y k = y 1 , k + β - y 1 b y 2 b y 2 , k   ,   s e   k = 0,1 , … , n

Imagine que temos um sistema de EDO:

y ' = f ( x , y , z ) z ' = g ( x , y , z ) y ( x 0 ) = y 0 z ( x 0 ) = z 0

Para resolver EDO’s com essa aparência, podemos usar o método de Runge-Kutta de quarta ordem, e calcular os seguintes coeficientes:

K 1 = h f ( x k , y k , z k ) L 1 = h g ( x k , y k , z k ) K 2 = h f x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 1 , z k + 1 2 L 1 L 2 = h g x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 1 , z k + 1 2 L 1 K 3 = h f x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 2 , z k + 1 2 L 2 L 3 = h g x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 2 , z k + 1 2 L 2 K 4 = h f x k + h , y k + K 3 , z k + L 3 L 4 = h g x k + h , y k + K 3 , z k + L 3

Após calcular todos os termos, usamos as fórmulas:

y k + 1 = y k + 1 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

z k + 1 = z k + 1 6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L 3 + L 4 )

Com esses termos, resolvemos EDO de ordem 1.

Bora fazer exercícios, para fixar esse conteúdo!!

Método de Shooting linear