Soluções numéricas de Equações diferenciais parciais

Produzido por Bruno Pestana
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Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaala jovenzito, pronto pra terminar de vez com cálculo numérico?

Nem todos estudam equações diferenciais parciais em numérico... e tudo bem! Se você nem sabe do que estamos falando e nem tem curiosidade para saber, podemos parar por aqui. E isso é tudo, pessoal!!!

Se o seu caso é outro, e você tem esse conteúdo na sua vida corrida de faculdade... vem comigo, vou te mostrar que não é assim um bicho de sete cabeças...

Bora lá?

Ainda estamos falando de equações diferenciais. Mas, aqui nós lidamos com as equações diferenciais que envolvem mais de uma variável independente, e por consequência possuem as tais das derivadas parciais. Daí que vem o nome de Equações Diferenciais Parciais (EDP), e essas equações tem essa carinha aqui:

F x , y ,   … ,   u x , y , … ,   ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , … , ∂ 2 u ∂ x 2 , ∂ 2 u ∂ y 2 , … , ∂ 2 u ∂ x ∂ y , … = 0

Onde: x ,   y , etc., são as variáveis independentes e u é a variável dependente.

A ordem de uma equação de derivadas parciais (EDP) corresponde à ordem da maior derivada parcial presente na equação.

uma EDP linear deverá ser linear relativamente à variável dependente e às suas derivadas. No caso de uma EDP linear de segunda ordem, teremos no caso geral:

a u x x + b u x y + c u y y + d u x + e u y + f u = g

Onde u é função de x e y e em que a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f   são coeficientes que podem ser função de x e y (mas não de u ).

Quando os coeficientes não são função de x e y , a EDP diz-se de coeficientes constantes.

Se g   =   0 , a EDP é homogênea e ainda pode ser ainda classificada de acordo com a natureza dos coeficientes que multiplicam as derivadas de segunda ordem:

b 2 - 4 a c = 0 →   E D P   p a r a b ó l i c a b 2 - 4 a c > 0 → E D P   h i p e r b ó l i c a b 2 - 4 a c < 0 → E D P   e l í p t i c a                

Basicamente essa classificação é geométrica, onde diferentes tipos geométricos de EDPs apresentam soluções com diferentes comportamentos.

Equações diferenciais parciais elípticas

A equação diferencial parcial elíptica e considerada pela equação de Poisson, onde:

∇ 2 u x , y = ∂ 2 u ∂ x 2 x , y + ∂ 2 u ∂ y 2 x , y = f ( x , y )

Em R = x , y | a < x < b , c < y < d . Com u x , y = g ( x , y ) para ( x , y ) ∈ S , em que S denota fronteira de R. Se f e g forem contínuas em seu domínio, existe uma única solução para esta equação. A resolução desse tipo de EDP pode ser feita com diferenças finitas.

Equações diferenciais parciais parabólicas

A EDP parabólica é usada para estudar equações de calor ou difusão:

∂ u ∂ t x , t = α 2 ∂ 2 u ∂ x 2 x , t ,   o n d e   0 < x < 1   e   t > 0

Sujeita às condições: u 0 , t = u l , t = 0 ,   t > 0   e   u x , 0 = f x ,   0 ≤ x ≤ 1

A abordagem que usamos para resolver é semelhante a diferenças finitas.

Equações diferenciais parciais hiperbólicas

Um exemplo de EDP hiperbólica é a equação da onda.

A equação da diferença é:

w i , 1 = 1 - λ 2 f x i + λ 2 2 f x i + 1 + λ 2 2 f x i - 1 + k g ( x i )

Agora que falamos um pouco, sobre as características de cada EDP, vamos resolver exercícios !!!

Equações diferenciais parciais elípticas

Equações diferenciais parciais parabólicas

Equações diferenciais parciais hiperbólicas