Soluções numéricas de Equações diferenciais parciais
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Introdução
Faaaaaaaaaaaaala jovenzito, pronto pra terminar de vez com cálculo numérico?
Nem todos estudam equações diferenciais parciais em numérico... e tudo bem! Se você nem sabe do que estamos falando e nem tem curiosidade para saber, podemos parar por aqui. E isso é tudo, pessoal!!!
Se o seu caso é outro, e você tem esse conteúdo na sua vida corrida de faculdade... vem comigo, vou te mostrar que não é assim um bicho de sete cabeças...
Bora lá?
Ainda estamos falando de equações diferenciais. Mas, aqui nós lidamos com as equações diferenciais que envolvem mais de uma variável independente, e por consequência possuem as tais das derivadas parciais. Daí que vem o nome de Equações Diferenciais Parciais (EDP), e essas equações tem essa carinha aqui:
Onde: etc., são as variáveis independentes e é a variável dependente.
A ordem de uma equação de derivadas parciais (EDP) corresponde à ordem da maior derivada parcial presente na equação.
uma EDP linear deverá ser linear relativamente à variável dependente e às suas derivadas. No caso de uma EDP linear de segunda ordem, teremos no caso geral:
Onde é função de e e em que são coeficientes que podem ser função de e (mas não de ).
Quando os coeficientes não são função de e , a EDP diz-se de coeficientes constantes.
Se , a EDP é homogênea e ainda pode ser ainda classificada de acordo com a natureza dos coeficientes que multiplicam as derivadas de segunda ordem:
Basicamente essa classificação é geométrica, onde diferentes tipos geométricos de EDPs apresentam soluções com diferentes comportamentos.
Equações diferenciais parciais elípticas
A equação diferencial parcial elíptica e considerada pela equação de Poisson, onde:
Em . Com para , em que S denota fronteira de R. Se e forem contínuas em seu domínio, existe uma única solução para esta equação. A resolução desse tipo de EDP pode ser feita com diferenças finitas.
Equações diferenciais parciais parabólicas
A EDP parabólica é usada para estudar equações de calor ou difusão:
Sujeita às condições:
A abordagem que usamos para resolver é semelhante a diferenças finitas.
Equações diferenciais parciais hiperbólicas
Um exemplo de EDP hiperbólica é a equação da onda.
A equação da diferença é:
Agora que falamos um pouco, sobre as características de cada EDP, vamos resolver exercícios !!!