Otimização – Casos Clássicos
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Olá, galerinha! Relembrando, otimização é o processo de encontrar a melhor solução para um problema, e fazemos isso achando valores máximos ou mínimos. Então, existem alguns casos clássicos que podem aparecer na sua prova e você já conhecendo ele, vai ajudar muito. E é isso que vamos ver agora!
Pitágoras
Imagine um rio com 10 metros de margem, onde um velho nadador chamado Phelps quer ir de um ponto A de um lado do rio para um ponto B do outro lado do rio que está há uma distância horizontal de do ponto A, como indicado na figura.
Ele pode caminhar até certo ponto e depois atravessar o rio nadando na diagonal, fazendo o trajeto indicado em vermelho. Se Phelps anda a e nada a , qual o melhor trajeto de Phelps?
Repara que nossa figura formou um triângulo de Pitágoras. E esse é o nosso primeiro caso clássico, então vamos resolver!
Na maioria das questões de otimização, a função a otimizar e outras equações não são fornecidas no enunciado. Então, nós vamos ter que analisar o problema e encontrar a função a otimizar e outras equações. Vamos lá?
1º Passo: Fazer um desenho do problema e atribuir variáveis para as quantidades pedidas. Mas isso o problema já nos forneceu, né? Então vamos seguindo
2º Passo: Escrever relações entre as variáveis do problema.
Vamos primeiro destacar o triângulo retângulo que é o foco do nosso problema e adotar uma variável , para tentaremos achar a relação entre e .
Usando Pitágoras:
Ou seja, é a distância que Phelps nada. Consequentemente, a distância que ele andará será o comprimento da margem (50 metros) menos a distância . Então a distância que ele anda em terra é
3º Passo: Escrever a função a ser otimizada!
Repara que o tempo que ele leva no trajeto é o somatório da variação de tempo em terra (andando) com a variação de tempo no rio (nadando). Então a função a ser otimizada será,
Lá dá física do ensino médio e já substituindo:
Da mesma maneira:
Aí pronto:
A partir daqui, é só fazer como na teoria inicial de otimização!
4º Passo: Achar os pontos de máximo (se quero maximizar) ou de mínimo (se quero minimizar).
Para isso, nós temos que derivar essa função, pois tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo, a reta tangente à eles será horizontal, ou sejaaaa, o coeficiente angular delas é zero.
Primeiro, vamos reescrever a nossa equação para facilitar na hora de derivar,
Derivando,
Agora vamos igualar a zero,
Vamos deixar essa equação com uma cara mais simples, segue os passos
Resolvendo a equação de segundo grau chegamos que,
5º Passo: Verificar se o ponto achado é um ponto de máximo (ou mínimo) local ou global. No fundo, se existe algum ponto melhor (que é “mais máximo” ou “mais mínimo” do que o ponto achado anteriormente). Para isso, teste os extremos do intervalo ou estude o comportamento.
Como a nossa função trata-se de uma equação de segundo grau, só um mínimo (ou máximo) global! É só lembrar da cara de uma equação de segunda grau que é uma parábola para cima ou para baixo.
Então, galerinha, já resolvemos o problema!
Distância de Ponto à Função
Agora vamos dificultar um pouco! No problema acima, a gente desenhou o que tava acontecendo, chegamos a um triangulo retângulo e aplicamos Pitágoras. Mas em alguns casos, nós iremos conseguir ver isso tão fácil e é isso que vamos ver agora.
Olha essas duas funções aqui, e :
Se eu te pedisse a menor distância entre as duas funções, chamando um ponto de qualquer de e um ponto qualquer de de , como você começaria?
Vou começar dando uma melhorada no desenho:
Se os pontos e são pontos das curvas e , então a distância entre os pontos formará um triângulo retângulo e poderá ser calculada por Pitágoras. A gente pode seguir o passo a passo descrito acima.
Para achar a equação a ser otimizada, vamos chamar a distância de . Então por Pitágoras:
Isolando e substituindo por seu valor como função de :
Simples assim, basta usar essa fórmula para otimizar a distância entre duas curvas! Neste caso, como queremos a menor distância, vamos atrás do mínimo.
Quando precisar encontrar a menor distância entre um ponto e uma curva a distância entre eles também será dada pela diferença entre as coordenadas aplicadas ao Pitágoras.
Vamos de um exemplo! A gente quer encontrar o ponto na reta que está mais próximo da origem .
Nós já conhecemos um ponto e queremos achar outro . Então um será o nosso e o outro o nosso . E repara que o nosso é a nossa . Vamos jogar na nossa equação,
Agora, vamos derivar para achar o nosso mínimo e igualar a zero para achar o nosso mínimo.
Agora que achamos , vamos achar o nosso jogando na equação da reta que nos foi dada:
Então o ponto na reta que está mais próximo da origem é o .
Área e Volume
Um homem do campo tem 1.500 de cerca e quer construir um cercado retangular em volta do seu terreno. Qual é a área máxima que ele poderá cercar? Qual será a altura e a largura da área cercada? Como equaciona esse treco, amigo?
Bem, identificamos que se trata de um problema de otimização, pois queremos a área máxima.
1º Passo: Faça um desenho do problema e atribua variáveis para as quantidades pedidas.
2º Passo: Escreva relações entre as variáveis do problema.
3º Passo: Escrever a função a ser maximizada (ou minimizada) em função de apenas uma das variáveis do problema. Como fica a área em função de ?
4º Passo: Derive a função e iguale a para achar os pontos de máximo (ou de mínimo).
5º Passo: Verificar se o ponto achado é um ponto de máximo (ou mínimo) local ou global.
Opa! Novamente, a nossa função trata-se de uma equação de segundo grau, ou seja, s um máximo global! Então as dimensões são e e a área máxima é
Tudo bem? Outros problemas de área e perímetro cobram outras fórmulas, então fique ligado!
Grave todas essas fórmulas aí!
Volume
E se fosse um volume? Problemas de volume em nada mudam quanto à organização do passo-a-passo, mas você precisa saber as principias fórmulas cobradas:
Veremos bastante disso nos exercícios de fixação ;-).