Área entre Curvas

Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, .

Agora segue aqui comigo:

Então se for negativo, . Agora se for positivo, então . Então a gente pode pensar em algo assim:

Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para . Porém como nosso limite de integração superior é , não vamos nos preocupar com isso.

Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo , então vamos usar a seguinte fórmula:

Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para e aplicar os limites de integração:

Bem, esse é o caso , .

Temos que fazer,

Substituindo na integral dada.

Agora, usando a substituição

Então a integral fica assim,

Voltando para :

Usando o triângulo retângulo para converter o na variável inicial:

Então temos que

Agora vamos aplicar os limites de integração:

O que vai dar:

Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o em evidência:

Olha, o tem raiz em . Já o não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em e é negativa quando é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:

Olha lá uma parte em que está acima do eixo e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo e vamos chamar de e a segunda, que está a direita, vamos chamar de . Portanto,

Primeiro vamos analisar a área . Nessa área é menor que 0, então vamos fazer

Agora para a área aquela que está à direita do eixo , temos que a função é positiva. Então,

Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja

Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo :

Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o :

Agora, eu vou botar o outro, o :

Além de que ela toca a quando :

Então essa área entre os gráficos está aí marcada com . Lembrando que até teria uma outra área ali embaixo entre os gráficos, só que o cara especificou que .

Então, a integral está rolando de até , sendo que até o nós temos vermelho por cima e verde por baixo e a partir daí temos azul em cima e verde embaixo, ou seja:

Agora vamos integrar!

Começamos desenhando as duas parábolas:

Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:

Bom, se eu adicionar ainda o gráfico uma vertical paralela ao eixo passando em :

Já tenho ali a minha área definida, então.

Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:

de até eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo

de até tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:

Integrando uma de cada vez:

Agora a segunda parte

Juntando tudo

Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é , que vem de para e depois explode para , e o outro é , que tem raízes em e e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:

Conluímos, assim, que a região será dividida em dois pedaços, um de a e outro de até . Vamos ao esboço:

A região está pintada de verde.

Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo a maior é a vermelha , em a mais alta é a azul :

Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.

Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.

Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua e outro para ser sua .

Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área ou em , se tiver escolhido a ordem contrária.

Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.

Bom, aquele me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como , mas tanto faz:

Bom, vamos integrar.

PARA TUDO!

Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:

Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:

Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:

Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio , já que é um valor positivo).

Ora, ora. Problema interessante...

Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com concavidade para baixo). Essa curva e o eixo delimitam uma região de área . Vamos ver o seu gráfico?

Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem.

Uma reta vai ser

Se ela passa na origem , então

No fundo, queremos calcular para que a área seja dividida pela metade

Vamos esboçar o que o enunciado nos diz:

No desenho, foi desenhado uma reta genérica que corta .

OBS: Em problemas onde ainda não sabemos a equação de alguma curva, é muito útil esboçarmos uma situação genérica para essa curva e começar a fazer os cálculos a partir daí.

Igualando as equações, podemos achar os pontos de interseção:

Logo, .

Temos duas formas de prosseguir agora:

1. Dizendo que a área acima da reta é metade da área compreendida entre a parábola e o eixo .

2. Dizendo que a área acima da reta é igual a área abaixo dela.

Vamos seguir a forma 1, já que a área abaixo da reta é mais difícil de ser calculada (ou teríamos que integrar em relação a ou dividir em duas áreas).

Para isso é válido saber que a parábola intercepta em e .

Igualando a área acima da reta à metade da área abaixo da parábola, temos:

Assim, chegamos a uma equação para :

Logo, a equação da reta é:

O enunciado nos dá duas curvas:

O enunciado nos pede para esboçar a área limitada por essas curvas e calculá-la.

Para esboçar as curvas, vamos, primeiro entender melhor as funções dadas:

Isso é uma hipérbole. O gráfico vai ser algo assim

Mas repara que o é uma raiz quadrada, isso nos diz que ele é positivo, então vamos pegar só a parte de cima.

Agora vamos fazer

Ela vai ficar

Agora que já podemos esboçar as funções, o próximo passo é igualar as suas equações para acharmos os pontos que elas se interceptam.

Depois, calcularemos a área da região limitada por elas através de integrais.

A nossa área vai ficar então

Entre o verde e o rosa.

Igualando as funções:

Esboço da região :

Pela simetria, podemos dizer que a área de é:

Vamos calcular a integral: .

Como aparece a expressão , vamos tentar a substituição trigonométrica:

Mudando os limites de integração:

Aplicando:

Resolvendo a segunda integral por partes:

Calculando:

Substituindo na expressão inicial:

OBS:

Nesse problema, o enunciado nos pediu explicitamente que teríamos que esboçar a região entre as curvas. Portanto, para fazer isso, tivemos que usar conceitos de derivada primeira e derivada segunda para acharmos a concavidade, ponto de mínimo, etc.

É bom estar com esses conceito frescos na hora da prova. Além disso, é bom saber equações de algumas curvas conhecidas: