Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata

y = sen(x), 0 ≤ x ≤ pi

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha como você?

Bom, essa questão dá pra gente a curva

y = sin ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π

E peder pra gente usar um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada e a seguir, achar a área exata.

Bom, faremos exatamente o que ele pediu. Primeiro vamos traçar o gráfico da curva no intervalo dado e estivar a área abaixo dele de acordo com imagem formada.

Depois, como precisamos da área exata, usaremos a integração para nos ajudar já que a integral pode ser entendida como a área sob o gráfico da função.

Assim, faremos:

A = ∫ 0 π sin ⁡ x d x

Vamos nessa!

Passo 2

Podemos começar esboçando o gráfico de y , e ficamos com

Podemos estimar a área

A ≈ 2 3 π ≈ 2,1

Agora vamos calcular essa área com exatidão.

Passo 3

Como a gente faz pra encontrar a área embaixo de uma curva? A gente integra, não é mesmo?

Então é só a gente integrar a função y no intervalo dado

A = ∫ 0 π sin ⁡ x d x

Lembrando que a integral do seno é igual a menos o cosseno, teremos:

A = ∫ 0 π sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x 0 π

Como essa é uma integração definida, vamos substituir os limites de integração na função dada. Assim:

- cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

O que nos dará:

= 1 - - 1 = 2

Assim, temos a área exata abaixo da curva do seno no integrvalo dado.

Resposta

Estimando: A ≈ 2,1

Calculando: A = 2

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