Equação da Parábola

Resumo

A equação da parábola necessita de uma reta diretriz d e um ponto que representa o foco da parábola F . O vértice da parábola deve estar no meio entre o F e d , conforme a figura:

Se p é a distância entre o foco e a reta diretriz, então a equação da parábola pode ser escrita como:

x 2 = 2 p y

É importante perceber que é possível rotacionar a parábola utilizando sinais negativos, ou alterando as variáveis, onde tem x colocar y e vice-versa, observe:

x 2 = - 2 p y

y 2 = 2 p x

y 2 = - 2 p x

Para que serve?

A equação da parábola é o primeiro passo no estudo de equações do segundo grau, já que como sabemos equações do segundo grau, também representam parábolas, mas parábolas mais complexas e deslocadas em relação aos eixos cartesianos. A maioria das parábolas vão apresentar restas diretrizes paralelas ao eixo x e y e nesse caso podemos reescrever a equação da parábola naquele formato que já conhecemos:

Se a reta diretriz for paralela ao eixo x, a equação da parábola vira y = a x 2 + b x + c .

Se a reta diretriz for paralela ao eixo y, a equação da parábola vira x = a y 2 + b y + c .

Vamos resolver um exercício para deixar tudo bem claro!

Encontre a equação da parábola que passa pelos pontos 0 , 0 , ( 1 , - 1 ) e ( 3 / 2 , - 1 / 2 ) .

Para resolver esse exercício, vamos primeiro tentar descobrir qual a orientação dessa parábola, fazendo um esboço bem rápido, temos:

Então temos uma reta diretriz paralela ao eixo x e nossa equação da parábola vai ter a carinha:

y = a x 2 + b x + c

Para resolver o problema temos que achar os coeficientes a , b e c e assim encontrar a equação da parábola, para isso vamos usar as informações sobre os pontos que a parábola passa e montar um sistema:

Ponto ( 0 , 0 ) :

0 = a × 0 2 + b × 0 + c 0 = c

Ponto 1 , - 1 :

- 1 = a × 1 2 + b × 1 + c - 1 = a + b + c

Ponto ( 3 / 2 , - 1 / 2 ):

- 1 2 = a × 3 2 2 + b × 3 2 + c - 1 2 = 9 4 a + 3 2 b + c

Montando o sistema:

c = 0 a + b = - 1 9 4 a + 3 2 b = - 1 2

Isolando a na segunda equação:

a = - 1 - b

Substituindo na terceira equação:

9 4 - 1 - b + 3 2 b = - 1 2

Resolvendo a expressão, encontramos:

b = - 7 3

Logo, resolvendo para a :

a = - 1 - b = - 1 - - 7 3

a = 4 3

Temos a = 4 3 , b = - 7 3 e c = 0 , e nossa equação da parábola é:

y = 4 3 x 2 - 7 3 x

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