Interseção de Superfícies: Parametrização

Nosso objetivo é parametrizar uma curva, mas ela ainda não apareceu. Vamos descobrir que curva é essa?

Para fazer uma interseção basta isolar uma variável que as duas equações tenham em comum, e depois igualar os dois resultados. Vamos isolar o ?

Na primeira equação temos:

isolando o ...

Na segunda equação temos:

isolando o ...

Agora que temos o devidamente isolado, podemos igualar uma equação à outra!

Igualando o lado direito das duas, temos....

Pronto conseguimos a equação de nossa interseção!

Agora é a parte mais trabalhosa, mas a parte boa é que é so trabalhdo braçal! Vamos ter que isolar novamente uma das variáveis, e então poderemos parametrizar a curva. Vamos isolar a variável ?

elevando ao quadrado fica....

Deixando só o do lado esquerdo....

Desenvolvendo só mais um pouquinho....

Perfeito!! Isolamos o !

Finalmente! Só falta fazer a parametrização! Agora que temos o isolado, podemos falar que e deixar tudo em função deste parâmetro. Vamos lá:

fazendo que ...

Como , temos também que

Prontinho! Temos todas as variáveis em função de ! Agora basta colocar na forma parametrizada!

Primeiro devemos isolar alguma variável em alguma das superfícies, vamos pegar o da segunda curva marotamente porque já está isolado.

Substituindo na equação da

Temos uma parábola né? Então temos aquele macetinho aqui.

O está elevado a , quando isso acontecer pega a outra letra e chama ela de , assim oh

Pela equação que achamos

Vulgo

Agora voltando para o

A parametrização é

LIIIINDO... só que não rs, lembre-se Beleza não põe mesa

Ele quer a projeção da interseção das superfícies, a projeção é só chegar na equação sem uma das variáveis.

Como ele quer uma projeção em , devemos eliminar a variável !

Vamos lá, já temos o isolado, então é só igualar

Essa é a equação da elipse, vamos arrumar só para ficar mais parecido

Pronto

b1)

“Estude” soou muito como “encha linguiça a respeito de...” Mas vamos tentar fazer alguma coisa pra não zerar a questão né, nem que seja só um “brain-storm” aleatório XD

Ok, deram uma superfície:

E disseram que tem uns planos fatiando-a, em . Para ficar mais fácil de visualizar, comecemos colocando uma constante real no lugar de ? Por exemplo, se fosse , teríamos:

Opa, essa é clássica, não? É uma circunferência no plano , paralelo ao , com centro em e .

Show, mas e se fosse simplesmente ? Sabe, um número aleatório?

Opa, viu só? Vemos sempre, o examinador queira ou não, circunferências! Como está ao quadrado, não importa se ele é negativo ou positivo, sempre vai dar uma circunferência descolada em no sentido de . A única coisa que vai mudar é o raio, no caso, .

Agora que já “estudamos” os plano , acho eu, o suficiente, vamos partir pro plano e ver a curva que temos:

Substituindo por onde aparecer...

Pronto! Consegue ver o que encontramos? Temos uma hipérbole desenhada no plano paralelo ao :D

Depois disso tudo o que fizemos, fica mais intuitivo pensar em esboçar a superfície! Pense só, temos uma superfície, e sabemos a sua equação do “mundo tridimensional”, certo? Então, fatiamos ela por planos paralelos aos planos cartesianos, ou seja, por planos do tipo , , . Se o planos são , como no início da questão, então eles são paralelos ao plano , se são , são paralelos ao , e se são , são paralelos a .

Sem mais enrolação, vamos analisar o que já fizemos? Se fatiamos a superfície com planos , paralelos a , encontramos circunferências, certo? Lembra que sempre encontrávamos elas, não importando o valor de ? Se fatiamos por planos , encontramos hipérboles. Analogamente, se tivéssemos anulado o , teríamos encontrado hipérboles, pois teríamos e elevados ao quadrado, sendo um subtraído do outro...

Juntando essas três informações, temos um hiperboloide de uma folha!

Viu a circunferência aí quando , deslocada em no sentido positivo de ? E não importa se é maior ou menor que nos planos ! Sempre fatiaremos circunferências!

b2)

Beleza, agora temos que fazer a interseção entre e . A maneira mais intuitiva é isolar o , né? Ele já está quase isolado... Aí depois substituímos na equação da superfície :D

Colocando na superfície:

O que acha da gente desenvolver esse ? Aí poderemos completar o quadrado, juntando com o que sobrou do lado esquerdo...

Completando o quadrado...

Dividindo por , pra sair a equação certinha de uma elipse:

Agora só precisamos parametrizar com coordenadas elípticas! Hahaha o nome é feio, mas é assim mesmo.

O pensamento é o seguinte: Temos dois termos ao quadrado, sendo somados e igualados a . Então, depois que fizermos nossa substituição, teremos que encontrar . Sacou?

No nosso caso, o primeiro termo é . Queremos que vire apenas , beleza? Então:

Então dizemos que !

E o ? Queremos que vire , certo? Então:

Então,

Viu como é simples? Depois, de tanto fazer isso, você vai fazer sem pensar, vai sair naturalmente :)

E então a parametrização da curva é:

A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície não tem o valor de , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é um cilindro elíptico

Lembra como é a parametrização da elipse?

Então, para esse caso

Como ele faz a volta completa

Mas e agora como parametrizamos o valor de ? Vamos usar a outra equação.

Primeiro temos que isolar o na segunda superfícies

Ok, agora temos uma expressão de dependendo só de e , o que temos que fazer agora é trocar os valores de e da parametrização que fizemos ali em cima.

Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.

A parametrização vai ficar

Com