Esboço de Curvas
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Equação cartesiana
Imagine que queremos esboçar o gráfico da curva:
E aí? O que a gente faz? Bom, a primeira coisa a se fazer é encontrar a equação cartesiana da curva.
Uma equação cartesiana de uma curva é aquela em que não aparece o parâmetro , apenas as variáveis e .
É o caminho inverso ao que estamos fazendo até agora, quando desejamos parametrizar uma curva. Nesse caso, teríamos uma curva parametrizada e gostaríamos de saber qual é a equação cartesiana dela.
Temos o seguinte:
Isolamos na primeira equação:
E substituímos na outra equação:
Portanto, temos que essa curva é uma parábola.
Equação cartesiana: funções trigonométricas
Agora, imagine que um problema pede para esboçar essa curva:
O ponto chave aqui é como encontrar a equação cartesiana. Basicamente, você vai analisar cada componente da curva e tentar relacioná-los.
Agora pensa comigo, na nossa curva, a gente tem seno e cosseno. O que que dá pra fazer com isso? O que isso pode dizer pra gente sobre a curva?
Lembra da relação fundamental da trigonometria? Não? Relaxa que eu te lembro:
Então, parece que ela pode nos ajudar né? E pode mesmo!! Repara que para qualquer , temos que:
Ou seja, os pontos estão sempre sobre um círculo de raio . E a coordenada , por sua vez, cresce indefinidamente. Então, o esboço da curva fica:
Que curva é essa? É uma curva helicoidal cilíndrica. Repare ainda que , portanto a curva está “subindo” ao longo do eixo .
Algumas variações
Observação 1: Da mesma forma, os pontos poderiam estar sobre uma elipse, em vez de estar sobre uma circunferência. Por exemplo:
Vamos fazer o seguinte:
Ou seja, os pontos estão sobre essa elipse. Tranquilo?
Observação 2: Vamos ver o que fazer quando for uma função qualquer de . Por exemplo:
Nesse caso, a única diferença é que o eixo cresce mais rápido por ser uma exponencial.
Observação 3:
Observe que para todo . Ou seja, a curva estará em cima da superfície do cone . Seu esboço fica:
Que é uma curva helicoidal cônica.
Em resumo:
Caso o problema peça para você fazer um esboço da curva, será uma dessas duas.
- Se - curva helicoidal cilíndrica
- Se - curva helicoidal cônica
Tenha essas duas curvas em mente. Elas podem aparecer na prova! E, caso seja necessário, você saberá desenhá-las. Mas não se preocupe, não precisa ser nada muito perfeccionista. Apenas observe o ponto inicial da curva, o sentido que ela percorre à medida que aumenta e o intervalo em que está contido.
Só mais uma dica
O problema é que às vezes vamos ter que esboçar curvas difíceis de identificar!
Nesse caso o jeito é fazer o basicão: substituir vários valores de na parametrização e assim achar pontos da curva.
Exemplo: Vamos esboçar a curva parametrizada por .
É muito difícil de identificar de cara que curva é essa! Tem um cosseno e um seno, beleza, mas e aí? É justamente nesse caso que partimos pro trabalho braçal de substituir vários pontos e ver no que dá.
Então vamos lá! É bom pegar o máximo de valores possíveis pra ter mais pontos.
De até podemos ver que vamos ter os mesmos valores, mas com o sinal trocado:
Pronto! Vamos ver como ficaram esses pontos bonitões:
Dá pra ter uma noção boa de como é a curva né?
Só ali perto da origem ( que não tem muitos pontos... Aí daria pra ver com mais calma como ficam e perto de . Na dúvida faz uma reta mesmo!
Saca só como fica a curva:
E se a questão pedir pra indicar a orientação, basta botar uma seta pra esquerda! Né? Fomos de , que corresponde ao ponto lá na direita, até , no ponto .
Então o esboço ficaria assim:
Belezinha? Então vem comigo treinar nos exercícios!