Teoria

Equação cartesiana

Imagine que queremos esboçar o gráfico da curva:

σ t = 3 + t 2 , 1 + 2 t 4 ,     t ∈ 0 , + ∞

E aí? O que a gente faz? Bom, a primeira coisa a se fazer é encontrar a equação cartesiana da curva.

Uma equação cartesiana de uma curva é aquela em que não aparece o parâmetro t , apenas as variáveis x e y .

É o caminho inverso ao que estamos fazendo até agora, quando desejamos parametrizar uma curva. Nesse caso, teríamos uma curva parametrizada e gostaríamos de saber qual é a equação cartesiana dela.

Temos o seguinte:

x t = 3 + t 2

y t = 1 + 2 t 4

t ∈ [ 0 , + ∞ )

Isolamos t ² na primeira equação:

t 2 = x - 3

E substituímos na outra equação:

y = 1 + 2 t 2 2 = 1 + 2 ( x - 3 ) ²

Portanto, temos que essa curva é uma parábola.

Equação cartesiana: funções trigonométricas

Agora, imagine que um problema pede para esboçar essa curva:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t

t ∈ R

O ponto chave aqui é como encontrar a equação cartesiana. Basicamente, você vai analisar cada componente da curva e tentar relacioná-los.

Agora pensa comigo, na nossa curva, a gente tem seno e cosseno. O que que dá pra fazer com isso? O que isso pode dizer pra gente sobre a curva?

Lembra da relação fundamental da trigonometria? Não? Relaxa que eu te lembro:

c o s ² t + s e n ² t = 1

Então, parece que ela pode nos ajudar né? E pode mesmo!! Repara que para qualquer t , temos que:

x 2 t + y 2 ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Ou seja, os pontos x ,   y estão sempre sobre um círculo de raio 1 . E a coordenada z , por sua vez, cresce indefinidamente. Então, o esboço da curva fica:

Que curva é essa? É uma curva helicoidal cilíndrica. Repare ainda que z ' t = 1 > 0 , portanto a curva está “subindo” ao longo do eixo z .

Algumas variações

Observação 1: Da mesma forma, os pontos ( x ,   y ) poderiam estar sobre uma elipse, em vez de estar sobre uma circunferência. Por exemplo:

σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t

Vamos fazer o seguinte:

x t = 2 cos ⁡ t ⇒ cos ⁡ t = x t 2 y t = sen ⁡ t ⇒ sen ⁡ t = y ( t )

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

⇒ x t 2 2 + y t 2 = 1

⇒ x 2 2 + y 2 = 1

Ou seja, os pontos estão sobre essa elipse. Tranquilo?

Observação 2: Vamos ver o que fazer quando z t for uma função qualquer de t . Por exemplo:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e t

Nesse caso, a única diferença é que o eixo z cresce mais rápido por ser uma exponencial.

Observação 3:

σ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   t

t ∈ R

Observe que x t 2 + y t 2 = z t 2 para todo t . Ou seja, a curva estará em cima da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 . Seu esboço fica:

Que é uma curva helicoidal cônica.

Em resumo:

Caso o problema peça para você fazer um esboço da curva, será uma dessas duas.

  • Se a x t 2 + b y t 2 = constante  - curva helicoidal cilíndrica
  • Se a x t 2 + b y t 2 = z t 2   ; a ,   b = constantes - curva helicoidal cônica

Tenha essas duas curvas em mente. Elas podem aparecer na prova! E, caso seja necessário, você saberá desenhá-las. Mas não se preocupe, não precisa ser nada muito perfeccionista. Apenas observe o ponto inicial da curva, o sentido que ela percorre à medida que t aumenta e o intervalo em que t está contido.

Só mais uma dica

O problema é que às vezes vamos ter que esboçar curvas difíceis de identificar!

Nesse caso o jeito é fazer o basicão: substituir vários valores de t na parametrização e assim achar pontos da curva.

Exemplo: Vamos esboçar a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ 2 t ,   t ∈ 0 ,   π .

É muito difícil de identificar de cara que curva é essa! Tem um cosseno e um seno, beleza, mas e aí? É justamente nesse caso que partimos pro trabalho braçal de substituir vários pontos e ver no que dá.

Então vamos lá! É bom pegar o máximo de valores possíveis pra ter mais pontos.

t = 0 → σ 0 = 2 ,   0

t = π 6 → σ π 6 = 3 , 3 2

t = π 4 → σ π 4 = 2 ,   1

t = π 3 → σ π 3 = 1 , 3 2

t = π 2 → σ π 2 = 0 ,   0

De π 2 até π podemos ver que vamos ter os mesmos valores, mas com o sinal trocado:

t = 2 π 3 → σ 2 π 3 = - 1 ,   - 3 2

t = 3 π 4 → σ 3 π 4 = - 2 ,   - 1

t = 5 π 6 → σ 5 π 6 = - 3 ,   - 3 2

t = π → σ π = - 2 ,   0

Pronto! Vamos ver como ficaram esses pontos bonitões:

Dá pra ter uma noção boa de como é a curva né?

Só ali perto da origem ( t = π 2 ) que não tem muitos pontos... Aí daria pra ver com mais calma como ficam 2 cos ⁡ t e sen ⁡ 2 t perto de t = π 2 . Na dúvida faz uma reta mesmo!

Saca só como fica a curva:

E se a questão pedir pra indicar a orientação, basta botar uma seta pra esquerda! Né? Fomos de t = 0 , que corresponde ao ponto 2 ,   0 lá na direita, até t = π , no ponto - 2 ,   0 .

Então o esboço ficaria assim:

Belezinha? Então vem comigo treinar nos exercícios!

Equação cartesiana: funções trigonométricas

Algumas variações

Só mais uma dica

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