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Equação de Clairaut

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Teoria

Equação de Clairaut

Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Clairaut se tiver a forma:

y = x y ' + f y '

Onde f é um função diferenciável.

O método para resolver essa equação consistem em:

Primeiro derivamos a EDO em relação a x

y ' = y ' + x y ' ' + f ' y ' y ' '

O que implica em

y ' ' x + f ' y ' = 0

Agora como temos um produto igual a zero temos duas possibilidades: y ' ' = 0 ou x + f ' y ' = 0

Daí podemos concluir que y ' = C ou x = - f ' y ' .

Se y ' = C substituindo na EDO teremos

y = x C + f C

Que como podemos ver é uma família de retas que são solução da equação de Clairaut.

Agora, se x = - f ' y ' chamando y ' de um parâmetro t temos x = - f ' t , logo

y = x t + f t

E isso implica no seguinte sistema

x = - f ' t   y = x t + f t

E encontramos a seguinte solução

x = - f ' t   y = - f ' t t + f t

Que é uma parametrização para pontos do plano (acredite), logo representa uma curva, chamada envoltória ou solução singular, que também é solução da equação de Clairaut.

Então, o que você tem que lembrar é: a equação de Clairaut sempe tem como solução uma família de retas e uma curva parametrizada chamada envoltória! Claro, além de lembrar o método de solução.

Exemplo

Resolva a EDO

y = x y ' + 1 + y ' 2

A primeira coisa a fazer é derivar em relação a x

y ' = x y ' ' + y ' + 2 y ' 2 1 + y ' 2 y ' '

Reorganizando...

0 = x + y ' 1 + y ' 2 y ' '

Daí a gente tem y ' ' = 0 ⇒ y ' = C ou x = - y ' 1 + y ' 2 ⇒ x = - t 1 + t 2

Para y ' = C temos a família de retas y = x C + 1 + C 2 . E para x = - t 1 + t 2 temos a envoltória:

x = - t 1 + t 2                                       y = - t 1 + t 2 × t + 1 + t 2 ⟹ x = - t 1 + t 2 y = - t 2 1 + t 2 + 1 + t 2 ⟹ x = - t 1 + t 2 y = 1 1 + t 2

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Exercício da Apostila EDA-UFF Aula 6

Resolva a equação de Clairaut

y = x y ' + y ' 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 3 y ' 2 y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 3 y ' 2 = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 3 y ' 2 = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + C 3

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 3 y ' 2 = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 3 t 2

E substituindo na equação

y = - 3 t 2 × t + t 3 = - 2 t 3

Resposta

Família de retas

y = x C + C 3

Solução singular

x = - 3 t 2 y = - 2 t 3

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 27 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação de Clairaut, obtenha uma solução singular

x y ' - y = e y '

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' + x y ' ' - y ' = e y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x - e y ' = 0

Daí ficamos com o sistema

y ' ' = 0 x - e y ' = 0

porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

x C - y = e C

y = x C - e C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x - e y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = e t

E substituindo na equação

e t t - y = e t

y = t e t - e t

Resposta

Família de retas

y = x C - e C

Solução singular

x = e t y = t e t - e t

Exercício Resolvido #3

Exercício nº 27 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação de Clairaut

y = x y ' + ln ⁡ y '

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 1 y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 1 y ' = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 1 y ' = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + ln ⁡ C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 1 y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 1 t

E substituindo na equação

y = - 1 t t + ln ⁡ t = - 1 + ln ⁡ t

Resposta

Família de retas

y = x C + ln ⁡ C

Solução singular

x = - 1 t y = - 1 + ln ⁡ t

Exercício Resolvido #4

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp93-16

Resolva

- x y ' + y = y ' + 1 2 ,     y 0 = 0

Passo 1

Essa equação ta parecendo muito uma equação de Clairaut. Vamos mexer um pouco pra ela ficar com aquela cara característica.

y = x y ' + y ' + 1 2

Agora é so partir pra resolução como a gente já sabe

Passo 2

Derivando a equação em relação a x .

y ' = y ' + x y ' ' + 2 y ' + 1 y ' '

y ' ' x + 2 y ' + 1 = 0

Disso temos.

y ' ' = 0

o u

x + 2 y ' + 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo para y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo na equação.

y = x C + C + 1 2

Passo 4

Utilizando a nossa informação inicial y 0 = 0 .

y 0 = 0 + C + 1 2 = 0

C = - 1

y = - x

Passo 5

Resolvendo para x + 2 y ' + 1 = 0 . Tomando y ' = t , onde t é um parâmetro.

x + 2 t + 1 = 0

x = - 2 ( t + 1 )

Substituindo x e y ' na equação.

y = - 2 t + 1 t + t + 1 2

y = 1 - t 2

Passo 6

Vamos testar agora se essa solução singular que nos encontramos atende a condição inicial y 0 = 0 .

x = 0 = - 2 t + 1

t = - 1

Para t = - 1

y = 1 - - 1 2 = 0

Logo a solução singular atende a condição inicial.

Resposta

Reta

y = - x

Solução singular

x = - 2 t + 1 y = 1 - t 2  

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