Teoria

Introdução

Mais uma das equações especiais que estudaremos é a de Riccati. Apresentarei um método de solução que precisamos necessariamente já conhecer uma solução particular y p da equação. Mais tarde, quando falarmos de equações de ordens superiores citarei outro método.

Equação de Riccati

Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Riccati se tiver a forma:

y ' = P x y 2 + Q x y + R x

Conhecendo uma solução particular y p dessa equação, o método de solução consiste em transformar, por meio da mudança z = y - y p , a equação de Riccati numa equação de Bernoulli e resolver como se resolve uma equação de Bernoulli. Sempre lembrando de voltar à variável original no final de tudo.

Simples, não? Vamos ver como isso acontece.

Fazendo z = y - y p na equação: y ' = P x y 2 + Q x y + R x

temos

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

Sabendo que y p é uma solução particular, ou seja, y p ' = P x y p 2 + Q x y p + R x , a equação

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

fica

z ' + [ P x y p 2 + Q x y p + R x ] = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

z ' = P x z 2 + Q x + 2 P x y p z

Que é uma equação de Bernoulli em z . Não enxergou? Calma aí!

z ' - Q x + 2 P x y p z = P x z 2

E agora consegue perceber que é de Bernoulli? Uma EDO é de Bernoulli se ela é de primeira ordem (essa é de primeira ordem), o coeficiente da derivada é o número um 1 (é um), tem uma função apenas de x como coeficiente de z ( Q x + 2 P x ) y p é função apenas de x e outra função apenas de x como coeficiente de z α (nesse caso α = 2 ).

Viu só? É de Bernoulli, daí é só resolver como se resolve Bernoulli lembrando que y = z + y p .

Exemplo 1

Sabendo que y x = 1 é uma solução da equação d y d x = y + x y 2 - 1 - x determine a solução geral da equação.

Essa equação, de fato, é de Riccati

y ' = x y 2 + y + - 1 - x

Fazendo a substituição y = 1 + z

z ' = x 1 + z 2 + 1 + z + - 1 - x

z ' = x 1 + 2 z + z 2 + 1 + z - 1 - x

z ' = x + 2 x z + x z 2 + z - x

z ' = 2 x z + x z 2 + z

z ' = 1 + 2 x z + x z 2

1) Dividindo por z 2

z - 2 z ' = 1 + 2 x z - 1 + x

2) Fazedno u = z - 1

u = z - 1 ⇒ u ' = - z - 2 z '

- u ' = 1 + 2 x u + x

u ' = - 1 + 2 x u - x

3) Resolvendo a linear

u ' + 1 + 2 x u = - x

Calculando I x

I x = e ∫ A x d x = e ∫ 1 + 2 x   d x = e x + x 2

Calculando ∫ I x ⋅ B x d x

∫ I x ⋅ B x d x = ∫ e x + x 2 ⋅ - x d x = - ∫ x e x + x 2 d x

u x = 1 e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Voltando para a variável z

z - 1 = 1 e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

z = e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Voltando para a variável y

y - 1 = e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

y = 1 + e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Ufa...limpe o suor e vambora pros exercícios!

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