Equação de Riccati
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Introdução
Mais uma das equações especiais que estudaremos é a de Riccati. Apresentarei um método de solução que precisamos necessariamente já conhecer uma solução particular da equação. Mais tarde, quando falarmos de equações de ordens superiores citarei outro método.
Equação de Riccati
Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Riccati se tiver a forma:
Conhecendo uma solução particular dessa equação, o método de solução consiste em transformar, por meio da mudança , a equação de Riccati numa equação de Bernoulli e resolver como se resolve uma equação de Bernoulli. Sempre lembrando de voltar à variável original no final de tudo.
Simples, não? Vamos ver como isso acontece.
Fazendo na equação:
temos
Sabendo que é uma solução particular, ou seja, , a equação
fica
Que é uma equação de Bernoulli em . Não enxergou? Calma aí!
E agora consegue perceber que é de Bernoulli? Uma EDO é de Bernoulli se ela é de primeira ordem (essa é de primeira ordem), o coeficiente da derivada é o número um (é um), tem uma função apenas de como coeficiente de ( é função apenas de e outra função apenas de como coeficiente de (nesse caso ).
Viu só? É de Bernoulli, daí é só resolver como se resolve Bernoulli lembrando que .
Exemplo 1
Sabendo que é uma solução da equação determine a solução geral da equação.
Essa equação, de fato, é de Riccati
Fazendo a substituição
1) Dividindo por
2) Fazedno
3) Resolvendo a linear
Calculando
Calculando
Voltando para a variável
Voltando para a variável
Ufa...limpe o suor e vambora pros exercícios!