Equação de Riccati
Teoria
Introdução
Mais uma das equações especiais que estudaremos é a de Riccati. Apresentarei um método de solução que precisamos necessariamente já conhecer uma solução particular da equação. Mais tarde, quando falarmos de equações de ordens superiores citarei outro método.
Equação de Riccati
Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Riccati se tiver a forma:
Conhecendo uma solução particular dessa equação, o método de solução consiste em transformar, por meio da mudança , a equação de Riccati numa equação de Bernoulli e resolver como se resolve uma equação de Bernoulli. Sempre lembrando de voltar à variável original no final de tudo.
Simples, não? Vamos ver como isso acontece.
Fazendo na equação:
temos
Sabendo que é uma solução particular, ou seja, , a equação
fica
Que é uma equação de Bernoulli em . Não enxergou? Calma aí!
E agora consegue perceber que é de Bernoulli? Uma EDO é de Bernoulli se ela é de primeira ordem (essa é de primeira ordem), o coeficiente da derivada é o número um (é um), tem uma função apenas de como coeficiente de ( é função apenas de e outra função apenas de como coeficiente de (nesse caso ).
Viu só? É de Bernoulli, daí é só resolver como se resolve Bernoulli lembrando que .
Exemplo 1
Sabendo que é uma solução da equação determine a solução geral da equação.
Essa equação, de fato, é de Riccati
Fazendo a substituição
1) Dividindo por
2) Fazedno
3) Resolvendo a linear
Calculando
Calculando
Voltando para a variável
Voltando para a variável
Ufa...limpe o suor e vambora pros exercícios!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Exercício nº 25 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2
Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular
Passo 1
Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati
Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.
Passo 2
Vamos fazer a substituição que equivale então
Que é de Bernoulli.
Passo 3
Resolvendo Bernoulli
Dividindo a equação por
Fazendo a substituição temos logo então a equação fica
Que agora é linear.
Passo 4
Resolvendo a linear
Calculando
Então
Calculando
Para resolver essa integral temos que separa em dois casos, quando e quando . Vamos começar resolvendo para , isso nos diz que
Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples fazendo as contas vocês acham
Então a solução em é (Lembra que estamos fazendo , tudo que tem fica ):
Passo 5
Voltando para a variável
Passo 6
Voltando para a variável
Passo 7
Devemos agora fazer essa conta toda para , isso implica que sempre que tivermos ele vai passar a ser
Então
Calculando
Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples fazendo as contas vocês acham
Então a solução em é:
Passo 8
Voltando para a variável
Passo 9
Voltando para a variável
Passo 10
A função vai ficar
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Resolva a equação abaixo
Passo 1
Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati
Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.
Passo 2
Vamos fazer a substituição que equivale então
Que é de Bernoulli.
Passo 3
Resolvendo Bernoulli
Dividindo a equação por
Fazendo a substituição temos logo então a equação fica
Que agora é linear.
Passo 4
Resolvendo a linear
Calculando
Então
Temos um problema de módulo aqui, nesse caso para facilitar um pouco as contas vamos considerar apenas o caso onde a secante é positiva.
Então
Calculando
Aqui não precisamos facilitar as contas tirando esse módulo porque essa já é a última integral que vamos fazer.
Então a solução em é:
Passo 5
Voltando para a variável
Passo 6
Voltando para a variável
Resposta
Exercício Resolvido #3
Exercício nº 26 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2
Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular
Passo 1
Essa também é de Riccati neh
Mas note que não temos uma solução particular dela. E agora?
Vamos tentar encontrar uma solução particular, porque senão não conseguiremos aplicar o método que a gente sabe para resolver equações de Riccati.
Temos uma derivada igual a um polinômio não é? Se encontrarmos uma raiz desse polinômio teremos uma solução particular, por que a derivada de uma constante é zero e quando substituirmos a raiz no polinômio vamos ter como resultado zero também, ou seja, teremos uma solução particular. Todo mundo aqui já é safo em polinômios certo? Então procurando um pouco as raízes encontramos como raiz e solução particular. Pronto agora é só aplicar o método.
Passo 2
Vamos fazer a substituição que equivale então
Que é de Bernoulli. Não tem um termo, mas é de Bernoulli.
Passo 3
Resolvendo Bernoulli
Dividindo a equação por
Fazendo a substituição temos logo então a equação fica
Que agora é linear.
Passo 4
Resolvendo a linear
Essa nem precisamos usar o método pra resolver. Pensa comigo queremos uma função que tem derivada igual a . E a gente já conhece
A solução geral é
Passo 5
Voltando para a variável
Passo 6
Voltando para a variável