Médoto Dos Coeficientes Indeterminados - Soma de Funções
Teoria
Fala aí! Nessa página, damos continuidade ao estudo do método dos coeficientes indeterminados pra resolução de EDOs de 2ª ordem não homogêneas, dessa vez com uma nova variação.
Então, se você não conferiu a primeira parte desse conteúdo, vai correndo lá nessa página pra você já ficar por dentro. Eu te espero 😉
⭐ Veja também ⭐
- EDO de segunda ordem homogênea.
- Método dos coeficientes indeterminados.
- Método dos coeficientes indeterminados - produto de funções.
- Método da variação de parâmetros.
- Wronskiano - LI e LD.
EDO de 2ª Ordem Não Homogênea com Soma de Funções
Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea e com coeficientes constantes (respira 😳) é algo do tipo:
Lembra que o método dos coeficientes indeterminados trata de coeficientes
Até agora, as funções
Dessa vez, a gente vai ver o que fazer caso esse
Bora então descobrir como se faz isso aí?
Ah, se você preferir, pode ver tudo que vou te explicar aqui por meio desse vídeo. Senão, segue comigo no textinho logo depois 👇
Resolver a EDO não homogênea com coeficientes constantes
Pra resolver uma EDO de 2ª ordem não homogênea com soma de funções, a gente vai seguir o seguinte passo a passo:
Passo 1: Encontrar a EDO homogênea associada e sua solução
A gente vai começar resolvendo a EDO homogênea associada. Para isso, é só ignorar tudo o que tá depois da igualdade e resolver normalmente.
Então, pra começar com aquele exemplo ali de cima, a EDO homogênea associada vai ser:
E pra resolver isso aí, é só achar a solução da equação:
Pelo nosso querido Bháskara:
Então, a solução
Da onde saiu isso aí?
Te explico tudo isso nesse vídeozinho maravilhoso aqui 👇
Ou então confere a matéria sobre EDO de segunda ordem homogênea.
Passo 2: Encontrar a solução particular
O chute, ou candidato, a
E esses caras também podem ser associados! Como nosso
E aí a gente precisa derivar esse cara duas vezes, pra podermos substituir na EDO original depois 😬
Como era mesmo nossa equação?
Então a gente vai substituir
Monstruoso, né? Tem que tomar muito cuidado pra não se perder com as distributivas e os jogos de sinais.
Bora melhorar isso aí agrupando os termos semelhantes.
No final, fica:
Pra sair dessa furada aí, a gente tem que comparar os coeficientes de ambos os lados.
Olha só, ali do lado direito, a gente só tem
Resolvendo esse sistema aí, temos que
Quer dizer que, nosso
Fica assim:
Passo 3: Encontrar a solução geral
A gente encontrou:
E:
Somando esses dois caras, chegamos na seguinte solução geral:
Molezinha, né? O segredo aqui tá só em encontrar o candidato a
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
EDO de 2ª ordem não homogênea
Determine a solução geral:
Passo 1
Bem bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro:
Assim:
Assim a solução da homogênea é dada por:
Passo 2
Beleza clã, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!Então simbora:
Perceba que a que temos uma função exponencial e uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:
Passo 3
Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.
Passo 4
Agora derivando:
Substituindo esses paranauês loucos na EDO:
Juntando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
Assim a solução particular é dada por:
Passo 5
A solução geral é dada por:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Encontrar solução homogênea:
Vamos ver a equação característica:
Assim, a solução homogênea será:
Passo 2
Encontrar com coeficientes a determinar:
Agora é uma soma de diferentes funções:
- Função exponencial:
- Função trigonométrica:
- Função polinomial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 3
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 e a outra a .
Passo 4
Encontrar derivadas de :
Passo 5
Substituir na equação e encontrar constantes:
Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:
Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:
- Exponencial
- Trigonométrica
- Polinomial
E agora substituindo apenas a parte exponencial:
E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:
Resolvendo o sistema:
E agora substituindo apenas a parte polinomial:
Resolvendo o sistema:
Ótimo! Encontramos todas as constantes:
Não se preocupe se algumas constantes forem “feias”! Isso pode acontecer algumas vezes, não significa necessariamente que você errou algum cálculo!
Passo 6
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Substituindo as constantes:
Passo 7
Encontrar solução geral:
Resposta
Exercício Resolvido #3
EDO de 2ª Ordem não Homogênea
Uma EDO
possui uma solução particular da forma:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Temos que calcular primeiro a solução da equação homogênea pra gente poder determinar qual vai ser a forma da solução particular . A equação homogênea é
Repare que ela já está na forma
com e .
O discriminante é
A equação auxiliar é
Como , temos
E também temos
Comparando as duas expressões, obtemos
Então a solução da equação homogênea é:
Passo 2
Beleza, agora vamos dar uma olhada na solução particular!
A EDO é:
No lado direito temos a soma de uma exponencial com uma trigonométrica. Então o nosso “chute” pra tem que ser algo do tipo!
Pra exponencial:
E pra trigonométrica:
Ou seja, pra EDO toda, a nossa solução particular seria:
Passo 3
Tranquilo, mas se fosse só isso a gente não tinha calculado antes!
Temos que testar se a nossa não é solução da .
Lembrando que:
- Agora temos que nos perguntar: há termo na homogênea?
- A outra pergunta é: há termo ou na homogênea?
Não! Vemos que há um e um multiplicando o , e não somente uma constante.
Tem que ficar ligado nessa pegadinha!
Não, pelo mesmo motivo! O e o são multiplicados pelo , e não só por uma constante.
Ou seja, nossa está certa! :)
Resposta
Alternativa (d)