Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.3 - Ex. 12
Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento.
- No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por . Mostre que o gráfico de cruza o eixo sempre que e tiverem sinais opostos.
- No caso de superamortecimento, o movimento é dado por , onde . Determine a condição sobre os módulos relativos de e sob o qual o gráfico de cruza o eixo para um valor positivo de .
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos começar?
Uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou amortecimento pode ser descrita na forma de uma equação diferencial do tipo:
A equação característica associada a essa equação diferencial é:
A solução para esse tipo de equação é pela fórmula de bháskara.
E podemos encontrar três casos como resposta: movimento superamortecido , amortecimento crítico e subamortecido .
Passo 2
Para um movimento de amortecimento crítico, temos que , e temos como solução duas raízes reais e iguais.
A solução, como o enunciado disse é:
O gráfico de cruza o eixo de quando
Então, fazendo o lado esquerdo da solução igual a zero temos:
Isolando temos:
Temos quatro opções de sinais aqui:
- : positivo e negativo:
- : negativo e positivo:
- : e positivos:
- : e negativo:
Mas saca só: o tempo pode ser negativo? Não faz sentido né! Então as únicas duas opções válidas são a opções! Sendo assim, e devem ter sinais opostos!
Passo 3
Pra o movimento de superamortecimento temos , então encontramos duas soluções reais e distintas para a equação característica. A solução para esse movimento é:
Com . Novamente, o gráfico de cruza o eixo quando . Assim vamos ter:
Vamos deixar em termos dos coeficientes para visualizar melhor:
Vamos agora juntar os expoentes do lado direito em uma potencia só:
O lado direito é um valor sempre positivo e maior do que . Então os sinais das constantes e devem, obrigatoriamente, serem opostas para ter validade essa solução.
Mais uma coisa, a razão do lado direito deve ser maior do que . Sendo assim, em módulo:
Beleza?
Vamos pra próxima?