Teste da Segunda Derivada: Inconclusivo

Vamos começar determinando se o ponto é um ponto crítico:

Então o ponto é um ponto crítico, já podemos eliminar a alternativa (c).

Agora vamos calcular as derivadas segundas:

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda:

Vish! Deu zero! Então vamos parar pra olhar a função com calma.

Temos a soma de e , ambos elevados a potências pares. E a gente sabe que

Também podemos dizer , logo e .

De qualquer forma, chegamos à conclusão que o ponto é ponto de mínimo global de . Mas como todo ponto de mínimo global é também ponto de mínimo local (o contrário é falso), a alternativa (b) é a certa.

Vamos começar testando se é um ponto crítico, que tal?

As derivadas parciais em dão zero, então é um ponto crítico! Já dá até pra eliminar a alternativa (e).

Vamos tentar classificar o ponto com o teste da derivada segunda. Então vamos calcular as derivadas de segunda ordem!

Vamos ao teste da derivada segunda: no ponto temos

Vish, já dá pra ver que tem algo estranho. O determinante vai ser

Pois é, o determinante deu , que é justamente o caso que a gente não sabe classificar o ponto crítico!

Essa é hora que você tem que parar pra analisar a função friamente:

Vamos tentar visualizar a superfície que é o gráfico dessa função.

Estamos interessados no ponto , e esse ponto faz parte do plano , certo? No plano temos

e isso a gente sabe que é uma parábola voltada pra cima. Então nesse plano o ponto é um ponto de mínimo:

E se olharmos no plano temos

que é uma parábola voltada pra baixo, então esse plano o ponto é um ponto de máximo!

Então não tem como o ponto ser um ponto de máximo ou mínimo da função, ele é um ponto de sela!

Observação: Essa função parece muito com a equação do paraboloide hiperbólico, vulga “sela”:

Olha como é que é o gráfico da função:

a)

Essa é tranquila! Temos que

E podemos perceber que

Ou seja, é o valor mínimo que a função pode assumir. Portanto, a origem é um ponto de mínimo, inclusive de mínimo global.

b)

Agora complicou um pouco! Dessa vez temos

Não podemos afirmar nada do sinal da função tão facilmente quanto fizemos pra função anterior.

Agora vamos ter que dividir nosso estudo da função em vários casos.

A ideia vai ser tentar mostrar que num deles a origem seria um ponto de máximo, e em outro ela seria um ponto de mínimo. Se isso acontecer, poderemos concluir que ela não é nem um nem outro.

Comecemos pelo caso mais simples, em que consideramos e . Pense que a gente está se aproximando da origem pelo 1º quadrante.

Assim temos e . Agora ficou bem parecido com a letra (a) né?

Então nesse caso a origem seria um ponto de mínimo.

Agora vamos tentar achar uma abordagem da função pra qual a origem seria um ponto de máximo, beleza? O macete é a gente pensar ao contrário! Queremos:

Portanto, e devem ter sinais opostos, por exemplo e . Assim, e . Então agora estamos nos aproximando da origem pelo 2º quadrante. E verificamos que nesse caso temos .

Então nesse caso a origem seria um ponto de máximo. Sendo que vimos um outro caso em que ela seria um ponto de mínimo.

Portanto, podemos concluir que ela não é nem máximo e nem mínimo!

Um passinho bônus só pra mostrar o mapa de contorno da função:

Repare como o 1º e o 3º quadrantes têm uma cor mais clara do que o 2º e o 4º, perto da origem, e como a mudança de cor é brusca.

Calcular gradiente:

Encontrar pontos críticos:

Igualando as coordenadas:

Pela segunda equação:

Substituindo na primeira equação:

Então temos duas possibilidades:

ou

Primeira possibilidade:

Mas como o enunciado diz que então essa solução não vale.

Logo:

Pela segunda equação novamente:

Então o único ponto crítico é .

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

Calculando derivadas segundas:

Calculando essas derivadas no ponto :

Calculando :

Para que seja ponto de máximo, tem que satisfazer duas condições:

Substituindo e :

Logo:

Então não existe nenhuma valor de que satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente.

Logo, não existe valor de para que seja ponto de máximo local.

Para que seja ponto de mínimo, tem que satisfazer duas condições:

Substituindo e :

Logo:

Ou seja:

Logo, para que seja ponto de mínimo local.

Para que seja ponto de sela, tem que satisfazer:

Logo, para que seja ponto de sela.

Se :

Opa! Como , então o teste da derivada segunda falhou!

Neste caso, temos que parar pra olhar a função:

Isso não te lembra um produto notável? Tá com mó pinta de

Então vamos igualar a função a esse produto notável!

Igualando o primeiro e último termos:

Pelo segundo termo:

Logo:

Então

Substituindo :

Como , então corresponde a um ponto de mínimo (global inclusive).