Máximos e Mínimos Globais numa Região Fechada

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

Assim,

Como nos pontos críticos , então

Logo, temos 4 pontos críticos, que são as combinações dos e que encontramos. São eles:

Os pontos e já podem ser descartados, já que eles ficam fora da região que estamos considerando ().

Então guardamos os pontos e . Também precisamos guardar os vértices do retângulo que é a nossa região.

São os pontos:

Portanto, temos mais 4 pontos candidatos a máximo e mínimo.

Agora, devemos verificar pontos de máximo ou mínimo na fronteira.

Assim, temos 4 lados a serem verificados:

Quando em que são os lados do retângulo.

Em cada lado a função só depende de uma variável, e nós temos que achar os pontos críticos dessas 4 “subfunções”.

Comecemos pelo lado . Lembrando a nossa função:

E o primeiro lado:

Substituindo o lado na função:

Temos que achar o valor de máximo dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a

Então temos pontos críticos em

E

Agora precisamos fazer o mesmo pro segundo lado :

Substituindo esse lado na função, teremos:

Desenvolvendo,

Temos que achar os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a

Então temos os pontos

E

Mas já vimos antes esses dois pontos como pontos críticos de , então o lado 2 não acrescentou nada de novo!

Vamos verificar para o terceiro lado :

Substituindo-o na função:

Desenvolvendo,

Neste caso derivamos em relação a

(lembrando que .

Assim, obtemos o ponto . Mas ele nós já consideramos, é um vértice do retângulo!

Então o lado 3 também não acrescentou nada novo.

Finalmente!! Esse é o último lado! Aguente firme!!! Não tem nada de especial nele... só repetir o mesmo processo que fizemos até agora.

Quarto lado:

Substituindo-o na função:

Desenvolvendo,

Temos que achar os pontos críticos, vamos derivar e igualar a zero. Neste caso derivamos em relação a

E vamos ter o ponto , que também já achamos!

Ok, agora já temos todo o material necessário para terminar de vez com isso e dizer quais são os pontos de máximo e mínimo!

Os nossos candidatos são os pontos:

Só nos resta calcular o valor da função em cada ponto. Lembrando que

Então temos

Show, então os ponto de mínimo global e máximo global de são, respectivamente, e .

O valor mínimo é e o valor máximo é .

Antes de mais nada, é bom visualizar o conjunto . E nesse caso, até que é bem simples: temos e . Então e . vai ser um quadrado:

Dito isso, podemos continuar :)

Essa é uma questão de máximos e mínimos, então o nosso primeiro reflexo tem que ser: achar as derivadas parciais de e igualá-las a para achar os pontos críticos de . Então vamos lá:

Logo:

Agora igualando a :

• Se , como então ; o que nos dá o ponto .
• Se então ; o que nos dá os pontos .

Mas repare que esses dois últimos pontos não pertencem ao quadrado . Logo, o único ponto crítico de em é .

Agora vamos dar uma olhada na fronteira do quadrado. Podemos notar que os vértices do quadrado são candidatos a máximo e mínimo, pois eles são os extremos da região. Isso nos dá mais 4 candidatos: os pontos , , e .

Vamos analisar agora os lados do quadrado um por um. Repare que vamos sempre ter uma coordenada variando de -1 a 1 enquanto outra fica fixada. Ou seja, na borda do quadrado a só depende de uma variável.

Por isso, pra facilitar nossa conta, vamos criar uma função de uma variável para cada lado e determinar os pontos críticos dessas funções. Esses pontos críticos também vão ser candidatos a máximo ou mínimo da no quadrado. Ficou confuso? Relaxa que não é tão complicado, dá uma olhada:

Lado 1: e

tem um ponto crítico: o ponto , que é, portanto, mais um candidato a ponto de máximo ou mínimo.

Lado 2: e

Assim, obtemos mais um candidato, o ponto .

Lado 3: e

A função é consante então para todo vamos ter .

Então, o lado 3 todo é candidato a conter o valor máximo ou mínimo de no quadrado. Já tínhamos considerado como candidatos os vértices e . Mas agora podemos considerar todos os pontos , com , beleza?

Lado 4: e

Repare que . Então, que nem pra , vamos ter que o ponto crítico de tem . Mas agora . Isso nos dá mais um candidato, o ponto .

Show! Achamos todos os candidatos a ponto de máximo ou mínimo de no quadrado, são os pontos:

Agora "só" nos resta calcular o valor da em cada ponto e ver qual vai ser o máximo e qual vai ser o mínimo! Lembrando que , vamos ter:

Comparando os valores, podemos ver que o valor mínimo é , no ponto , enquanto o valor máximo é , nos pontos e .

Vamos achar os pontos críticos da função, igualando as derivadas parciais a zero:

Temos

Comecemos pela derivada parcial em relação a :

Vamos ver as restrições da placa retangular:

Portanto, sem problemas pra , mas não pode!

Então concluímos que .

Agora zeremos a derivada parcial em relação a :

Se :

Mas como , nenhum dessas opções é válida.

Então nos sobra . Como , devemos ter .

Portanto, possui um ponto crítico nessa placa retangular: o ponto . Ele é o nosso primeiro candidato a ponto de máximo ou mínimo absoluto da função na placa.

Agora temos que analisar a fronteira do retângulo:

Vamos estudar os lados um por um e determinar que candidatos a ponto de máximo ou mínimo temos em cada um deles.

Os primeiros candidatos que podemos separar são os 4 vértices do retângulo, os pontos:

Agora sim vamos olhar os lados um por um.

Começando pelo lado de cima, onde

Assim, nesse lado a função passa a depender só de :

Derivando e igualando a zero:

Portanto, o ponto é mais um candidato.

Vejamos agora o lado da direita:

Agora a função só depende de :

Continuando:

Então achamos mais um ponto: .

Passamos agora pro lado de baixo:

Nesse lado, temos

Repare que a função ficou igual ao lado de cima. Da mesma forma, temos

Então encontramos mais um ponto: .

Enfim chegamos ao último lado, o da esquerda, onde

Aqui temos

Essa ficou igual ao lado da direita. Assim,

Achamos o último candidato: o ponto .

Agora só nos resta calcular o valor da função em todos esses pontos e determinar qual é o mínimo global e qual é o máximo global:

Portanto, o valor máximo de na placa retangular é , atingido no ponto .

O valor mínimo é , obtido nos pontos e .

Aliás, podemos ver que esses pontos são compatíveis com a figura.

(a)

Questão de pontos críticos não tem erro: basta achar as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos lá, nós temos:

Então as derivadas parciais vão ser:

Agora vamos igualar essas derivadas a zero. Primeiro pra derivada parcial em :

E agora pra derivada parcial em relação a :

já que .

Portanto, os pontos críticos de são e

Vamos começar calculando as derivadas segundas de , pra depois aplicar o teste da derivada segunda:

Logo:

Também temos:

E pras derivadas mistas:

Firmeza! Agora podemos partir pro teste da derivada segunda:

Agora vem a parte delicada, vamos ter que classificar os pontos críticos que achamos em função de :

• Ponto : e
• Ponto : e
• Ponto e

Pra ficar mais claro, podemos classificar os pontos críticos de em função do sinal de em uma tabela: