Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
Teoria
Vamos ver como classificar os pontos críticos de funções . Pra isso, temos que analisar o sinal dos autovalores de uma matriz . A matriz é a seguinte:
Ela é chamada de matriz Hessiana.
Beleza! Mas e aquela história de autovalores? Bem, temos que achar os autovalores dessas matrizes e depois é só analisar isso aqui:
- Se todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo;
- Se todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo;
- Se os autovalores alternam entre positivos e negativos, então temos um ponto de sela.
Por exemplo, vamos classificar os pontos críticos da função
Calculando as derivadas parciais e igualando elas a zero, temos:
Daí concluímos que:
Portanto, tem um único ponto crítico, o ponto
Agora temos que calcular as derivadas segundas da .
Repare que só depende de , só depende de e só depende de . Então, todas as derivadas parciais mistas valem zero!
Isso pra qualquer ponto, então pro nosso também. E pras outras derivadas parciais de segunda ordem, temos
Daí a nossa matriz hessiana vai ser:
Agora basta achar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz hessiana subtraída da matriz identidade, multiplicada por , e igualar esse determinante a zero. Ou seja:
Temos 2 autovalores positivos valendo , e um negativo valendo .
Portanto, o ponto é um ponto de sela!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:
Passo 1
Primeiro temos que calcular gradiente:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Então os pontos críticos são
É gente, são OITO PONTOS CRÍTICOS, nessa hora vamos respirar e relaxa, porque a conta para cada um deles é igual fique tranquilo.
Passo 4
Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
A matriz Hessiana vai ficar
Temos que fazer a conta para os pontos, vamos ter
E
E
E
E
E
E
E
Passo 5
Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto para isso vamos resolver
Então os autovalores são
Todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em
Passo 6
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 7
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 8
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 9
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 10
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 11
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 12
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo em
Resposta
Pontos de sela:
Pontos de máximo:
Pontos de mínimo:
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:
Passo 1
Primeiro temos que calcular gradiente:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Pela terceira equação vamos ter
Temos que achar e dos pontos agora, pela segunda equação vamos ter
Substituindo na primeira equação
Vamos achar os seguintes valores de
E os valores correspondentes de vão ser
Então os pontos críticos são
Passo 4
Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
A matriz Hessiana vai ficar
Temos que fazer a conta para os pontos, vamos ter
E
Passo 5
Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto para isso vamos resolver
Resolvendo a segunda equação vamos ter
Então os autovalores são
Repara que é negativo e é positivo, então os autovalores estão trocando entre positivo e negativo, isso nos diz que temos um pontos de sela em
Passo 6
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Resolvendo a segunda equação vamos ter
Então os autovalores são
Conseguimos perceber que e são positivos, mas e aquele cada com subtração? Repara que
E
Então vamos ter aquela subtração sendo positiva, isso nos diz que todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em
Resposta
Pontos de sela:
Pontos de mínimo:
Exercício Resolvido #3
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 318, exercício 15a
Estude com relação a máximos e mínimos locais a função
Passo 1
Calcular as derivas parciais de :
Passo 2
Igualar a zero:
Pra :
Pra :
Passo 3
já deu pra definir, agora temos que resolver um sisteminha pra achar e :
Pela 1ª equação, . Substituindo na 2ª:
Ou seja,
Portanto, só tem um ponto crítico, o ponto .
Passo 4
Agora calculemos as derivadas parciais de segunda ordem! Temos
Logo,
Passo 5
Continuando:
Passo 6
Por fim:
Passo 7
Repare que nenhuma das derivadas parciais de segunda ordem depende das coordenadas , e . Então a nossa matriz hessiana é:
Agora, pra achar os autovalores dela, resolvemos a equação
E isso dá:
Passo 8
Então ou , ou:
Desenvolvendo,
Passo 9
Show, então obtivemos os 3 autovalores:
E temos que analisar o sinal desses autovalores pra classificar o único ponto crítico de . Claramente e .
Pro último autovalor basta ter cuidado. É só pensar que , portanto
Ótimo, então os 3 autovalores são positivos!
Isso significa que o único ponto crítico de , , é um ponto de mínimo local.
Resposta
tem um ponto crítico: o mínimo local .