Aproximação linear de função vetorial
Teoria
Para funções de uma variável, vimos que, se temos uma função e derivamos essa função num determinado ponto, podemos encontrar a reta tangente a essa função nesse ponto.
Essa reta é aproximadamente igual ao gráfico da função nas proximidades desse ponto. Isso quer dizer que, à medida que vamos dando um zoom no gráfico da função próximo ao ponto de tangencia, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é a reta tangente, porque eles são muuuuuuuuuito parecidos.
Ou seja, a reta tangente é uma aproximação linear da função de uma variável nas proximidades de um ponto .
Onde é a aproximação linear da função . Repara que é a mesma expressão da reta tangente!
Quando passamos para duas variáveis, o raciocínio permaneceu o mesmo, só que com uma dimensão a mais e passamos a ter um plano tangente se confundindo com o gráfico da função nas proximidades do ponto de tangencia. Ou seja, para função de duas variáveis, o plano tangente é a aproximação linear da função nas proximidades de um ponto :
Mais uma vez, repara que é a mesma expressão do plano tangente!
Tá, e onde eu quero chegar com tudo isso?
Quero chegar no fato de que para funções vetoriais não poderia ser diferente!
Quando temos uma função vetorial diferenciável nas proximidades de um ponto a gente pode dizer que:
Que é uma expressão parecidíssima com o que tínhamos antes para função de uma e duas variáveis.
A única diferença é que agora temos uma função vetorial e, portanto, temos que usar vetores e a derivada da função vetorial.
Quer ver como isso funciona na prática? Então vamos lá.
Vamos primeiro calcular
Beleza, agora vamos para a matriz Jacobiana (derivada) de :
As funções componentes são:
Então
Substituindo no ponto
Pronto, agora é só substituir!
Tranquilo, né?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 4 item iv.
Determine a função afim que melhor aproxima a função dada em próximo de :
Em
Passo 1
Tá, antes de tudo vamos arrumar essa função igual gente normal (rs):
Ufa!
E então a gente pode calcular o valor de em :
Passo 2
Ok, agora precisamos da derivada dessa função:
Em :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir!
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 2 item iv.
Determine a função afim que melhor aproxima a função dada em próximo de :
Em
Passo 1
Primeiramente, boa noite.
Agora vamos calcular o valor de em :
Passo 2
Ok, agora precisamos da derivada dessa função:
Em :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir!
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 6 item iv.
Determine a função afim que melhor aproxima a função dada em próximo de :
Em
Passo 1
Primeiramente, boa noite.
Agora vamos calcular o valor de em :
Passo 2
Ok, agora precisamos da derivada dessa função:
Em :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir!
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 5 item iv.
Determine a função afim que melhor aproxima a função dada em próximo de :
Em
Passo 1
Vamos calcular o valor de em :
Passo 2
Ok, agora precisamos da derivada dessa função:
Em :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir!
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFF, Calculo 2B, lista 10, exercício 7.
Usando uma função afim, calcule aproximadamente o vetor
Passo 1
Com base nesse vetor, podemos definir a função
Agora vamos achar a aproximação linear pra essa função no ponto
Que é um ponto próximo desse ponto esquisito ai que ele quer que calculemos a função e bem mais simples que ele.
Passo 2
Vamos então calcular o valor da nossa função nesse ponto.
Passo 3
Ok, agora precisamos da derivada dessa função:
Em :
Passo 4
Pronto, agora é só substituir!
Passo 5
Beleza, agora que já encontramos nossa aproximação linear, podemos substituir naquele ponto lokão: