Regra da Cadeia de Funções Vetoriais
Teoria
“Regra da Cadeia? Já aprendi isso!”
Já mesmo! Agora vamos só ver como a regra da cadeia se aplica a funções vetoriais. Mas o feeling é basicamente o mesmo.
Quando tínhamos uma função composta de uma variável, a gente fazia
Ou, na notação de Leibniz:
Agora, no caso de funções vetoriais, na prática, vamos ter uma função de várias variáveis (2 ou 3) e uma parametrização dessas variáveis , (e , se for uma função de três variáveis) em função de um ou mais parâmetros.
E queremos calcular a derivada de com relação a um desses parâmetros, por exemplo .
Ou seja, queremos calcular a matriz jacobiana da função composta .
Na notação de Leibniz:
Então, o que temos que fazer sempre é:
- Calcular o jacobiano da função , que vai ser
- Calcular o jacobiano da parametrização, que vai ser .
- Fazer o produto escalar
No nosso exemplo, a derivada da composta em fica:
- Calcular o Jacobiano da função
- Calcular a derivada da parametrização
- Fazer o produto escalar entre as matrizes jacobianas:
No ponto temos que os valores de e correspondentes são:
Portanto e quando .
Assim, o Jacobiano de em será:
Em , temos
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, questão 1.
Sejam , , uma função de classe e a curva parametrizada definida por
- Calcule a matriz jacobiana de e de
- Calcule a derivada de no ponto
- Repita os itens anteriores para , , e
Passo 1
Ele quer essa conta no genérico mesmo. Vamos calcular o jacobiano de cada um e depois fazemos as substituições necessárias. Primeiro para
Repara que é uma função com parâmetros, vamos chamá-los de , e por ai vai até . Além disso ele só tem função componente que vai ser . Como fica seu jacobiano?
Passo 2
Vamos agora ao jacobiano de .
Repara que é uma função com parâmetros, vamos chamá-lo de . Além disso ele tem função componente vamos chamá-los de , e por ai vai até . Cada uma dessas funções depende de cada componente de e então vamos ter
Como fica seu jacobiano?
Lembrando que
Passo 3
O grande detalhe é escrever tudo em função de , então devemos ter o jacobiano de em função de também.
Para fazermos isso devemos achar o valor de , e por ai vai até em função de , vamos ter que aplicar
Então
E por ai vai
Vamos representar isso tudo só como
O jacobiano vai ficar
Passo 4
O jacobiano da função composta vai ser
Passo 5
Aqui vamos ter isso faz com que o jacobiano fique
Ele disse que
Então
Podemos agora achar
O jacobiano agora ficou
Vamos ver agora a função
Aqui vamos ter e , além disso
Vamos ter
Sabemos os valores de e pela aplicação
Então vamos ter
O jacobiano vai ficar
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 15.
Seja
Onde é uma função real diferenciavel. Encontre sabendo que e .
Passo 1
O que ele tá querendo é o gradiente da função . Mas gradiente nada mais é do que o Jacobiano dessa função.
Beleza, como vamos calcular esse jacobiano?
Se você observar bem, é uma função composta:
Ou seja
Beleza, agora como queremos enconrar o gradiente dessa função , que é uma função composta, percebemos que temos um caso de regra da cadeia, né?
Então
Passo 2
Vamos então calcular o jacobiano de
Mas, como ele quer o gradiente de quando , e , vamos calcular esse jacobiano neste ponto:
Passo 3
Agora vamos calcular o jacobiano de :
Beleza, mas como queremos o gradiente de no ponto , temos que achar os valores de e correspondentes:
Então temos que achar o jacobiano de no ponto . Mas, a questão já disse pra gente esse valor:
Passo 4
Pronto, agora é só calcular o produto escalar:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 13.
Sejam e .
- Verifique que uma das compostas ou não está definida.
- Determine e
- Determine ou , a que for possível
Passo 1
a) Vamos lá, temos duas funções compostas, e apenas uma dela é definida. Se fosse múltipla escolha seria de chance de acertar :D Ok, mas não é, então partiu entender essa parada.
Acho que a maneira mais simples de entender isso é assim:
Podemos ver que a função leva pontos do no , pois temos como entrada coordenadas, , e , e como saída um vetor de duas coordenadas. Já a função , leva pontos do no , pois entra e , e resulta num vetor com quatro coordenadas. E além disso sabemos que uma função composta deve ser tal que o domínio da função mais externa seja igual ao da imagem da mais interna.
Nessa bagunça toda aí de cima, vemos que em termos de dimensão, aparece a imagem da função e no domínio da função . Assim, a única combinação válida é ,
pois teremos sendo levado em (nesse caso, domínio e imagem de mesma dimensão).
Só pra entender melhor, vamos ver por que o outro caso não daria? Se quiséssemos usar pontos da imagem de como argumentos da função , teríamos pontos de coordenadas (gerados por ) numa função que precisa receber pontos de duas como argumento (argumentos da têm duas dimensões), o que não daria certo!
Passo 2
b) Beleza, agora só temos que encontrar as derivadas parciais, e, pra isso, só encontrar a Jacobiana:
Para a função , e , ou seja, primeira e segunda coordenadas. Eu peguei essa matriz aí da teoria, que por acaso é para uma função que nem essa , que leva . Agora é achar as derivadas parciais de e em relação a cada uma das variáveis, e .
Fazendo o mesmo para ,
Passo 3
Show! Agora é só colocar os valores encontrados na Jacobiana!
Passo 4
Já sabe o que fazer agora, certo? Para de ver a resolução e tenta fazer o mesmo para a outra função! Lembre-se que o número de colunas da Jacobiana é o número de variáveis do domínio , e o número de linhas é a dimensão para onde esse domínio está sendo levado!
Passo 5
Agora que você já vez sozinho(a) para treinar, vê se ficou assim:
Vemos que a nossa jacobiana deve ter duas colunas e quatro linhas, e fica assim:
Sendo
Passo 6
Encontrando as derivadas de cada em relação a e em relação a , teremos:
Passo 7
E colocando na matriz,
Passo 8
c)Finalmente! Pra fechar com chave de ouro, vamos calcular o valor da função composta para a função que existe, obviamente. Como vimos do passo 1, a função que dá pra fazer é .
Para fazer a derivada dessa função composta, temos que simplesmente usar a regra da cadeia! Para ilustrar melhor essa parada de , vamos escrever:
Ou seja, se formos usar a regra da cadeia, temos que fazer a derivada da função de fora no ponto definido pela de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Fica assim:
Passo 9
Começando por encontrar , que será o argumento de ,
E colocando o ponto como argumento de , teremos:
Passo 10
Agora vamos colocar o ponto como argumento de ,
E multiplicamos uma matriz pela outra,
Resposta
a) é a que está definida
b) e
c)
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.2, questão 4, item b.
- Sejam funções diferenciáveis tais que para todo . Sabendo que e , calcule e
Passo 1
Temos que encontrar e , certo? Veja, a função aparece dentro da função , ocupando a terceira posição , tudo bem? Então, para que encontremos e em função dos dados do enunciado, nada mais justo do que derivar a função ! Fazendo isso, com certeza poderemos isolar os e que aparecerem no caminho :D
Sabendo que
Então, aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a , teremos:
Passo 2
Ok, o que fizemos agora foi aplicar a regra da cadeia para uma função de três variáveis, tudo literalmente. Mas ainda temos um dado muito importante, que é:
Ou seja, na nossa função que derivamos, , e . Derivando cada termo, temos que , e que !
Além disso, como , então !
Então,
Passo 3
Agora vamos fazer exatamente o mesmo para a derivada em relação a !
Temos, pela regra da cadeia:
Como , e , então , e . Assim,
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 16.
Seja , em que é uma função real diferenciável, tal que e . Se , encontre , e .
Passo 1
Vamos lá, temos uma função , que tem como entrada uma variável real e retorna um vetor de duas coordenadas . Essa variável , por sua vez, é uma função que pega um ponto de coordenadas, , e leva em um número real .
Aí já podemos ver que nossa função composta é válida, por que o domínio da mais externa, , é igual à imagem da mais interna, .
Agora, vamos ao que interessa, quando ele fala que quer , , e , o que está pedindo são as derivadas das funções compostas, ou seja, , que é, na prática, pela regra da cadeia,
Sendo que essa derivada em relação a vem da regra da cadeia, e o “apóstrofo” de derivada é para uma, especificamente, em relação a , ou .
Passo 2
Show, agora só precisamos usar essas coisas todas que nos deram no enunciado (porque né, não foram dadas à toa, e nem teremos como adivinhar alguns resultados que vão aparecer), e calcular a expressão encontrada no passo anterior!
Vamos começar vendo qual é o valor de para . Para isso, basta colocar esse onde aparecer , pois :
Lembrando que ,
Opa! Olha bem esse vetor, . Se colocasse um aí na terceira casa não ia ficar igual ao do ponto que eles querem que calculemos as derivadas parciais? Não é nem um pouco por acaso XD O que acabamos de encontrar significa que, se colocarmos como argumento de , para o ponto , teremos um vetor , e a terceira coordenada do ponto de é dada pela função , pois não a altera ( retorna um vetor de ). Então, se temos , e colocamos em , teremos .
Passo 3
Agora que temos , vejamos para . Para isso, basta derivar a função vetorial, nesse caso, nem precisa da matriz jacobiana por que ela só tem uma variável !
Colocando o valor de , ou seja, ,
Passo 4
E chegou a melhor parte, já que, como o gradiente é exatamente, então tudo o que precisamos fazer é ver as coordenadas dadas pelo enunciado e fazer o produto escalar do passo :
Sabemos que o gradiente no ponto é . Logo, a derivada de em relação a vale , em relação a vale e em relação a vale , para o ponto .
Sabemos também que o vetor é .
Então, para a derivada de em relação a , teremos:
Em relação a , temos:
E em relação a , fica:
Resposta
Derivadas: , ,