Teoria

Dá uma olhada nesse campo aqui

F → = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

e a curva C que delimita a região x 2 + y 2 ≤ 4 .

A curva que temos é uma circunferência de raio 2 centrada na origem, o problema é que não podemos usar o teorema de Green por que ele tem uma restrição que quase ninguém lembra: o campo tem que ser definido em toda região de integração.

Campos Singulares

“Ah, a gente nunca parou pra ver isso, o que seria um campo que não está definido? ”

Bem, normalmente, o campo está sempre definido, por isso não ligávamos muito. Só temos pontos de indeterminação (ou singularidade) quando temos aqueles bugs da matemática, tipo divisão por 0 , raiz quadrada de número negativo, essas coisas que costumam dar problema.

Voltando para o nosso campo ali de cima

F → = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Perceba que a origem 0,0 é o ponto em que o campo possui uma singularidade! Pra usar o teorema de Green aqui, a gente vai ter que dar uma roubada, olha só o que podemos fazer

O círculo menor possui um raio igual a 1, para facilitar as contas. A nossa curva, nesse caso, pode ser separada em duas, C sendo a de fora e C 1 a de dentro.

Lembre-se que a orientação dela é muito relevante. Precisamos da orientação positiva, se você não lembra disso, dá uma olhada no tipo de curvas compostas, beleza?

Com isso, teremos que γ = C ∪ C 1 e:

∮ γ   F → d r = ∫ C   F → d r + ∫ C 1   F → d r

E agora sim, γ = ∂ D , a fronteira para uma região onde é válido aplicar o teorema.

Portanto, teremos:

∫ C   F → d r + ∫ C 1   F → d r =   ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde a integral de linha de C é a que nos queremos, então:

∫ C   F → d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ C 1   F → d r

E assim fazemos para quantos pontos de indeterminação forem necessários. O princípio básico é conseguir fugir de todos esses pontos (as vezes tem mais de um) e, assim, vamos isolando um por um com curvas.

Passo-a-passo

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Isolar a singularidade

Passo 3: Calcular a integral dupla

Passo 4: Calcular a integral de linha sobre a curva interna

Passo 5: Somar tudo

Eu sei que é muita coisa, mas calma, é só ter esse passo a passo na cabeça que as questões não fogem muito disso. Vamos lá ver os exercícios, então?

Campos Singulares

Passo-a-passo

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