Campos Singulares
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Dá uma olhada nesse campo aqui
e a curva que delimita a região .
A curva que temos é uma circunferência de raio centrada na origem, o problema é que não podemos usar o teorema de Green por que ele tem uma restrição que quase ninguém lembra: o campo tem que ser definido em toda região de integração.
Campos Singulares
“Ah, a gente nunca parou pra ver isso, o que seria um campo que não está definido? ”
Bem, normalmente, o campo está sempre definido, por isso não ligávamos muito. Só temos pontos de indeterminação (ou singularidade) quando temos aqueles bugs da matemática, tipo divisão por , raiz quadrada de número negativo, essas coisas que costumam dar problema.
Voltando para o nosso campo ali de cima
Perceba que a origem é o ponto em que o campo possui uma singularidade! Pra usar o teorema de Green aqui, a gente vai ter que dar uma roubada, olha só o que podemos fazer
O círculo menor possui um raio igual a 1, para facilitar as contas. A nossa curva, nesse caso, pode ser separada em duas, sendo a de fora e a de dentro.
Lembre-se que a orientação dela é muito relevante. Precisamos da orientação positiva, se você não lembra disso, dá uma olhada no tipo de curvas compostas, beleza?
Com isso, teremos que e:
E agora sim, , a fronteira para uma região onde é válido aplicar o teorema.
Portanto, teremos:
Onde a integral de linha de é a que nos queremos, então:
E assim fazemos para quantos pontos de indeterminação forem necessários. O princípio básico é conseguir fugir de todos esses pontos (as vezes tem mais de um) e, assim, vamos isolando um por um com curvas.
Passo-a-passo
Passo 1: Montar o problema
Passo 2: Isolar a singularidade
Passo 3: Calcular a integral dupla
Passo 4: Calcular a integral de linha sobre a curva interna
Passo 5: Somar tudo
Eu sei que é muita coisa, mas calma, é só ter esse passo a passo na cabeça que as questões não fogem muito disso. Vamos lá ver os exercícios, então?