Curvas Compostas
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Curvas Compostas
Existem alguns problemas que a nossa região vai ter “furos”, por exemplo
Sendo:
Obs: Note que o campo nas duas integrais é o mesmo! O esboço dessas curvas é esse aqui
Como podemos usar o teorema de Green?
O bom do teorema de Green é que, mesmo nesse caso em que temos uma curva composta, o teorema é válido! Vamos ter que tomar cuidado somente com a orientação das curvas.
Todas as curvas, olhando uma por uma, têm que estar orientadas positivamente. Ou seja, a região tem que ficar à esquerda quando percorremos a curva. Dá uma olhada nessa figura aqui comigo:
A primeira figura não está orientada positivamente. Note que, se andarmos sobre a curva de fora, a região fica à direita! Já na segunda figura, quando percorremos em ambas as curvas, a região de interesse fica à esquerda. Percebeu a diferença?
Depois de garantir tudo isso e considerando , o teorema fica assim
De volta ao problema
Perceba então que já temos um problema: nossa curva composta não está orientada positivamente! A curva precisa ser invertida, fazemos isso desse jeito aqui
Graficamente, agora ficou certinho, vê só
Agora sim! Com uma curva composta orientada positivamente podemos usar o teorema de Green, fica assim
Sendo a região entre as duas curvas. Beleza, agora é só calcular a integral dupla!
Vamos começar calculando
O que é consideravelmente simples, então não devemos ter problemas para calcular a integral.
Vamos jogar o valor na fórmula:
Para esse caso, o domínio é bom para ser escrito em coordenadas polares, então:
Substituindo isso na integral dupla
Resumindo o passo-a-passo, então:
Passo 1: Montar o problema
Passo 2: Calcular
Passo 3: Calcular a integral dupla
Agora, vamos aos exercícios praticar isso aí!