Teoria

Curvas Compostas

Existem alguns problemas que a nossa região vai ter “furos”, por exemplo

∫ C 1 ( e x 2 + y ) d x + cos 3 ⁡ y + x 2 2 d y - ∫ C 2 ( e x 2 + y ) d x + cos 3 ⁡ y + x 2 2 d y

Sendo:

C 1 : σ → = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

C 2 : σ → = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Obs: Note que o campo nas duas integrais é o mesmo! O esboço dessas curvas é esse aqui

Como podemos usar o teorema de Green?

O bom do teorema de Green é que, mesmo nesse caso em que temos uma curva composta, o teorema é válido! Vamos ter que tomar cuidado somente com a orientação das curvas.

Todas as curvas, olhando uma por uma, têm que estar orientadas positivamente. Ou seja, a região tem que ficar à esquerda quando percorremos a curva. Dá uma olhada nessa figura aqui comigo:

A primeira figura não está orientada positivamente. Note que, se andarmos sobre a curva de fora, a região fica à direita! Já na segunda figura, quando percorremos em ambas as curvas, a região de interesse fica à esquerda. Percebeu a diferença?

Depois de garantir tudo isso e considerando ∂ D = C 1 ∪ C 2 , o teorema fica assim

∮ ∂ D F → . d r → = ∫ C 1 F → d r → + ∫ C 2 F → d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

De volta ao problema

Perceba então que já temos um problema: nossa curva composta não está orientada positivamente! A curva C 2 precisa ser invertida, fazemos isso desse jeito aqui

- ∫ C 2 F . d r = + ∫ C 2 - F → . d r

Graficamente, agora ficou certinho, vê só

Agora sim! Com uma curva composta orientada positivamente podemos usar o teorema de Green, fica assim

∫ C 1 F → . d r → + ∫ C 2 - F → . d r → = ∮ ∂ D F → . d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Sendo D a região entre as duas curvas. Beleza, agora é só calcular a integral dupla!

Vamos começar calculando ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = e x 2 + y , cos 3 ⁡ y + x 2 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ cos 3 ⁡ y + x 2 2 ∂ x - ∂ e x 2 + y ∂ y = x - 1

O que é consideravelmente simples, então não devemos ter problemas para calcular a integral.

Vamos jogar o valor na fórmula:

∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D x - 1   d x d y

Para esse caso, o domínio D é bom para ser escrito em coordenadas polares, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

1 ≤ r ≤ 2

J = r

Substituindo isso na integral dupla

∬ D x - 1   d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ - 1 r   d r d θ

= ∫ 0 2 π r 3 3 cos ⁡ θ - r 2 2 1 2 d θ = ∫ 0 2 π 8 3 - 1 3 cos ⁡ θ - 4 2 - 1 2 d θ

= ∫ 0 2 π 7 3 cos ⁡ θ - 3 2 d θ = 7 3 sen ⁡ θ - 3 2 θ 0 2 π = - 3 2 2 π = - 3 π

Resumindo o passo-a-passo, então:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Passo 3: Calcular a integral dupla

Agora, vamos aos exercícios praticar isso aí!

Como podemos usar o teorema de Green?

De volta ao problema

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