Caso Escalar R³
Teoria
Expandindo o caso escalar para ℝ³
Vamos expandir os conceitos de integral de linha no ℝ² para três dimensões, beleza? O passo a passo pra resolver as questões vai ser o mesmo, as diferenças são essas aqui
Teremos que parametrizar e , não mais e apenas, com isso
Como consequência disso, o termo vai ser calculado assim
Então, sem mistério nenhum, é só seguir o mesmo passo a passo com esse carinha diferente ai de cima. Para ser sincero a maior dificuldade desse tipo de questão é parametrizar as curvas. Então dá uma treinada nisso que você vai tirar de letra. Vamos ver um exemplo aqui
Se te pedirem para calcular onde e é a interseção de , onde , com , onde a gente vai fazer assim:
Passo 1: Montar o problema
Vamos utilizar a fórmula
Onde e
Mas ainda não sabemos muita coisa, então vamos achar uma por uma.
Passo 2: encontrar a parametrização da curva
Vamos usar as informações que o problema deu. Temos a interseção entre:
, onde
, onde
Podemos fazer uma parametrização explícita aqui, olha só:
Logo, uma parametrização para a nossa curva seria
Precisamos do intervalo do parâmetro, então vem comigo!
Isso nós tiramos das informações que estão faltando, e .
Bom, se , podemos dizer que , o que nos dá , .
Se , temos que .
A interseção entre esses dois intervalos nos dá que .
Passo 3: calcular
Primeiro derivar a parametrização!
Agora jogar na fórmula:
Passo 4: Substituir tudo na integral e escrever em função de
Passa a ser
Então a integral fica
Agora é só resolver essa integral aí! Achou muita coisa? Então vamos fazer uns exercícios que com a prática você pega melhor.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 209
Calcule , onde é a hélice definida por , .
Passo 1
Aqui temos uma integral de linha que é representada por
Onde .
Nesse caso ele já nos deu a parametrização:
Passo 2
Como já temos a parametrização, podemos passar direto para o cálculo de
Antes vamos obter as derivadas da parametrização:
Agora, calculamos :
Passo 3
Vamos obter agora a nossa função em termos de
Jogando tudo na integral, teremos
Passo 4
Vamos, então, calcular a integral:
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 552-1. (modificado)
Encontre a massa de um arame que tem a forma da interseção da esfera e do plano , se a densidade do arame em for .
Passo 1
Ele esta pedindo a massa, então o que nós devemos cálcular é algo no tipo, vê se você concorda:
No enunciado ele já dá a densidade , então só fica faltando parametrizar a curva e encontrar o . Então vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, nós vemos que o plano pode ser escrito como , certo?
Então, jogando na equação da esfera, temos que a projeção no plano fica:
Que é uma elipse que pode ser parametrizada por:
Mas essa é só a projeção e não podemos esquecer a coordenada da curva:
Então, finalmente:
Passo 3
Agora podemos calcular as derivadas da parametrização:
Assim:
Opa! Isso é legal, parece que não vamos ter que calcular nenhuma integral muito complicada. Vamos ver como que vai ficar!
Passo 4
A nossa função em termos de será:
Vamos jogar tudo que achamos naquela fórmula da integral:
Passo 5
Agora temos que resolver esses monstrinhos!
Lembrando que:
Então:
Fazendo a substituição no de , obtemos que:
Logo: