Teoria

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Nosso papo aqui hoje é sobre as integrais de linha em um campo escalar. Se você chegou até essa página é porque precisa aprender esse conteúdo e nós vamos te ajudar nisso.

Conhecimentos Prévios

Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de linha de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou eles deixar aqui embaixo listados👇🏾

Parametrização de Curvas

O que é uma Integral de Linha

O conceito de integral de linha é bem semelhante com o de integral simples. Nas integrais simples a gente tem uma função e integramos ela dentro de um intervalo e essa integral nos dá a área abaixo da função nesse intervalo. Desse jeitinho aqui:

Agora, na integral de linha, a gente quer integrar uma função, mas não em intervalo de e sim em uma curva do plano . Nesse caso, nós temos que o nosso intervalo de integração é uma curva, que varia tanto com quanto com , então a nossa função integrando será do tipo , sacou?

A integral de linha pode ser interpretada como a área entre a curva, que chamamos de e a função, como nessa figura aqui:

Nós representamos a integral de linha dessa maneira aqui:

Onde é o que chamamos de infinitesimal da curva, assim como tínhamos o na integral simples.

Como calcular uma Integral de Linha?

Essa é a parte importante e que todo mundo quer saber, né? hahaha

Acho que a coisa mais estranha que aparece na integral de linha é aquele , mas vou te convencer que não tem nenhum mistério.

Para entendermos como calcula, vamos pegar um exemplo. Suponha que a nossa função seja e que a curva seja um círculo de raio e centro na origem.

A primeira coisa que devemos fazer para resolver essa integral é parametrizar a curva. Esse círculo é parametrizado da seguinte forma:

Com o variando de à : .

Depois de parametrizar a curva você vai usar a seguinte fórmula para encontrar o :

QUE? Entendeu nada, né? hahaha Calma, vamos aplicar no nosso exemplo. Vamos olhar a parametrização que fizemos da curva e definir quem é e quem é :

Agora, vamos derivar e em relação a :

Agora, a gente coloca essa informação na fórmula para :

E esse é o nosso .

Após definir o , o nosso próximo passo é escrever a função em termos de somente. Lembra que lá na parametrização da curva nós definimos quem era o e quem era o ?, Então, agora a gente vai pegar esse valor de e em função de e vamos substituir na função, assim:

Agora, está tudo pronto para montar a nossa integral de linha:

Só para deixar tudo bem explicadinho: os limites de integração vieram dos valores de lá da parametrização. O termo que está no primeiro parêntese é a em termos de e em seguida temos o que a gente calculou.

Agora é só resolver como uma integral simples:

Viu?! Não é tão complicado assim.

Resumo

Vamos fazer aqui um passo a passo para calcular a integral de linha:

PASSO 1: Montar o problema

PASSO 2: Parametrizar a curva

PASSO 3: Calcular o

PASSO 4: Escrever em função de

PASSO 5: Substituir e em função de na integral

PASSO 6: Calcular a integral

Agora vem a hora de praticar e fixar esse conteúdo que aprendemos. Vou deixar em seguida um exercício sobre integrais de linha em campo escalar em vídeo, onde nós do Responde Aí resolvemos o exercício passo a passo junto com você 👇🏾

Exercício (Vídeo)

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Como calcular uma Integral de Linha?

Resumo

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