Use uma calculadora para avaliar a integral de linha correta até quatro casas decimais.

∫ C x y arctan ⁡ z d s   , onde C tem equações paramétricas x = t 2   ,     y = t 3   ,     z = t   ,         0 ≤ t ≤ π 4

Passo 1

E aiiiii turma, tudo na paz!?

Precisamos determinar o valor em até quatro casas decimais utilizando calculadora da seguinte integral de linha:

∫ C x y arctan ⁡ z d s

Onde, C tem equações paramétricas x = t 2   ,     y = t 3   ,     z = t   ,         0 ≤ t ≤ π 4

Como resolvemos essa?

Nosso objetivo principal consistes em montar a integral na forma parametrizada, certo?

Você terá que substituir x , y e z pelas parametrizações e lembrando que d s tem uma forma parametrizada também. Que é:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Feito tudo isso, é só você utilizar uma calculadora de sua preferência que resolva integrais. Sugiro utilizar a calculadora online WolframAlpha.

Vamos nessa!!

Passo 2

Nosso objetivo é parametrizar a seguinte integral:

∫ C x y arctan ⁡ z d s

Sabemos que:

x = t 2   ,     y = t 3   ,     z = t   ,         0 ≤ t ≤ π 4

E que d s é:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Vamos encontrar d s primeiro.

d s = 2 t 2 + 3 t 2 2 + 1 2 t 2 d t

d s = 4 t 2 + 9 t 4 + 1 4 t d t

Agora vamos montar a integral. Substituindo vamos ter:

∫ 0 π 4 t 2 t 3   arctan ⁡ t   4 t 2 + 9 t 4 + 1 4 t d t

Utilizando o WolframAlpha com o input:

Integrate[t^5 arctan(⁡√t) √(4t^2+9t^4+1/4t),{t,0,π/4}]

Obtemos como resposta: 0,0552

Resposta

0,0552

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