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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 10

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )   d s , onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1   e   y = 2 .

Passo 1

Vamos fazer a interseção primeiro...

x 2 16 + 4 9 + z 2 16 = 1

x 2 16 + z 2 16 = 5 9

x 2 + z 2 = 80 9

Ou seja, a interseção é um círculo de raio 80 3 = 4 5 3 . A gente parametriza assim então:

x = 4 5 3 cos ⁡ t y = 2 z = 4 5 3 s e n   t           t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 2

Pra fazer o d s agora a gente deriva essa parametrização e depois faz a norma...

γ ' t = - 4 5 3 s e n   t ,   0 , 4 5 3 cos ⁡ t

γ ' t = 80 9 s e n 2 t + 80 9 cos 2 ⁡ t = 80 9 = 4 5 3

Vamos montar a integral agora:

∫ 0 2 π 4 5 3 cos ⁡ t 2 + 2 2 + 4 5 3 s e n   t 2 4 5 3 d t

∫ 0 2 π 80 9 cos 2 ⁡ t + 4 + 80 9 s e n 2 t 4 5 3 d t

∫ 0 2 π 80 9 + 4 4 5 3 d t

∫ 0 2 π 116 9 4 5 3 d t

= 464 5 27 2 π = 928 5 π 27

Essa é a integral procurada😉

Resposta

928 5 π 27

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C y ( x - z ) , onde C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9ex + z = 3 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y + z )d s , onde C é o quadrado de vértices 1,0 , 1 ,1,1 , 1 ,0,1 , 1 ,( 0,0 , 1 ) .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y - 1 )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies z = x 2 + y 2ey = 1 e que está abaixo do plano z = 5 .
Calcule a massa do fio γ t = cos ⁡ ts e nt ,t , 0 ≤ t ≤ π , com densidade linear δ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2