Enunciado

A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x = 10 c o s t ,   y = 10 s e n t . A altura da cerca na posição x , y é dada pela função h x , y = 4 + 0,01 ( x 2 - y 2 ) , portanto a altura varia 3 m a 5 m . Suponha que 1 L de tinta permita pintar 100 m 2 . Faça um esboço da cerca e determine quanto de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra fazer esse esboço, vamos parametrizar essa superfície z = h ( x , y ) . Uma possível configuração é:

z = v 4 + 0,01 10 c o s u 2 + 10 s e n u 2

Onde os parâmetros u e v estão entre:

0 ≤ u ≤ 2 π 0 ≤ v ≤ 1

E com a ajuda de uma calculadora gráfica temos o seguinte esboço:

Agora vamos calcular a área dessa cerca?

Passo 2

A área A   vai ser:

A = ∫ C h ( x , y ) d s

Em supondo que x = 10 c o s t e que y = 10 s e n t , em função do parâmetro t a função h ( x , y ) fica:

h t = 4 + 0,01 10 c o s t 2 + 10 s e n t 2 = [ 4 + c o s ⁡ ( 2 t ) ]

com 0 ≤ t ≤ 2 π .

E d s ? é o comprimento de d s :

d s = - 10 s e n t 2 + 10 c o s t 2 d t = 100 d t = 10 d t

Pronto! Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Legal! Resgatando ali do passo anterior a área:

A = ∫ 0 2 π 4 + cos ⁡ 2 t 10 d t = 10 4 t + 1 2 s e n 2 t 0 2 π

Aplicando os limites temos:

A = 10 4.2 π + 1 2 . 0 - 10 4.0 + 1 2 . 0 = 80 π

Então os DOIS lados da cerca vão ter num total de 160 π m 2 de área!

Se 1 L pinta 100 m 2 , então com uma regra de três simples achamos a quantidade de litros de tinta para pintar a área total:

1 L - - - - 100 m 2

x L - - - - 160 π m 2

Multiplicando cruzado temos:

100 x = 160 π

x = 160 π 100 = 1,6 π = 5,03 L

Então serão necessários aproximadamente 5,03 L de tinta.

Resposta

5,03 L

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 3 y - z d s , onde C é o arco da parábola z = y 2 ,x = 1 ,d eA 1,0 , 0 aB 1,2 , 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x zd s , onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C y ( x - z ) , onde C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9ex + z = 3 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y + z )d s , onde C é o quadrado de vértices 1,0 , 1 ,1,1 , 1 ,0,1 , 1 ,( 0,0 , 1 ) .