Integral por Substituição – u=tg(x/2)

Vamos substituir o cosseno em função da , como na nossa teoria:

Assim, teremos:

Logo, fazendo:

Podemos reescrever esse cara abrindo um produto notável do seu denominador:

Agora a gente tem que abrir essa integral em frações parciais:

Caímos nesse sistema:

Assim, a integral fica com essa cara:

Desfazendo a substituição do :

Vamos substituir o seno pela forma da teoria:

Repara, substituindo e tirando o como , já que:

Teremos,

Opa, a integral que restou é tranquila e direta de resolver. Temos que:

Voltando à variável original, , ficamos com:

Primeiramente, vamos tentar reorganizar essa integral que tá maior zona! Pra isso, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é ver o que dá pra por em evidência. No caso, só dá o mesmo. Vamos ficar então com:

Top! Mas ainda parece impossível de resolver. O jeito agora é usar relações trigonométricas pra tirar os termos mais malucos daí. Saca só:

Então ficamos com:

Vamos substituir o cosseno pela forma da teoria:

Obs: caso você tenha boiado nesse passo, se liga no flashback de divisão entre frações:

Sacou? Beleza! Bora seguir o baile...

Opa, agora sim! Temos duas vezes aparecendo na integral, o que nos dá a pista que vamos precisar usar a substituição . Com essa substituição, achamos o também dessa forma aqui ó:

A integral então vai ficar:

Geralmente quando a gente cai numa integral do tipo , por exemplo, a gente já tira de letra que o resultado é . Vamos esquecer, por enquanto, o 4 que tá multiplicando a integral.

Bem, como já sabemos derivar bem a função , vamos tentar fazer então uma integração por partes, beleza? Então se escolhermos:

E escolhermos também:

A integração por partes, que tem a expressão geral:

Vai ficar:

E multiplicando essa parada toda pelo nosso 4 que tinha no início:

Obs: a constante C ser multiplicada por 4 não faz diferença. Esta constante representa uma família de valores e, por isso, podemos desconsiderar o 4. Tipo assim:

Beleza! Essa é a resposta da nossa questão. Mas a gente não pode esquecer de voltar da variável u pra x, ok?

Agora pra fechar com chave de ouro, só voltar pra variável original. Lembrando que , então:

Vamos substituir o seno e o cosseno pelas formas da teoria:

Repara, substituindo e tirando o como , já que:

Teremos,

Aplicamos Bhaskara no termo de baixo para abrí-lo como dois polinômios do primeiro grau:

Agora temos que fazer frações parciais:

Nessa situação, temos que resolver o seguinte sistema:

Logo, a integral vai ficar assim:

Desfazemos a substituição do :

Dando uma rearrumada com propriedades do log:

Vamos substituir o seno e o cosseno pelas formas da teoria:

Multiplicando aquele sozinho por , temos:

Repara, substituindo e tirando o como , já que:

Teremos,

Aplicamos Bhaskara no termo de baixo para abrí-lo como dois polinômios do segundo grau. Pra isso, vamos fazer o seguinte, imagina que quero igualar o denominador à :

Calma que isso é só pra ajudar a gente a achar a raiz! Se fizermos a substituição:

Vamos ter:

Por Bhaskara:

E logo:

E voltando para , temos:

A integral fica então:

Agora temos que fazer frações parciais:

Tirando o denominador e aplicando a distributiva:

Nessa situação, temos que resolver o seguinte sistema:

Pra simplificar nossas contas, vamos chamar

O sistema de equações fica:

Multiplicando a primeira linha por e a terceira por , temos:

Somando as duas:

Se , conclui-se da primeira linha do sistema de equações que . Multiplicando a segunda linha por e a quarta por , temos:

Somando, temos:

E como:

Então:

Agora pra achar a última letra, multiplicando a segunda linha por e a quarta por , temos:

E somando:

A integral vira portanto: