O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t * g * (x / 2) converte qualquer função racional de sen x e cos(x) em uma função racional ordinária de t .

c) Mostre que

dx = 2 / (1 + t^2) dt

Passo 1

Queremos achar a relação entre d x e d t . Para isso, vamos inverter a relação t = t g   x 2 . Assim,

x 2 = a r c t g   t ⇒ x = 2   a r c t g   t

Passo 2

Tomando a diferencial dessa relação, chegamos a

d x = 2   d a r c t g   t ⇒ d x = 2 1 + t 2   d x

Resposta

Demonstração.

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