Assíntota oblíqua

Primeiro, vamos analisar o domínio. O numerador é constituído por que é contínuo para todo . Já no denominador temos uma equação que tem que ser diferente de . Calculando, achamos um valor de que a função não pode assumir:

Ou seja, o domínio da função é o conjunto dos reais menos esse ponto: .

Para determinar assíntotas verticais nós temos que procurar aonde a função não está definida, descontinuidades do domínio. O único ponto onde isso pode acontecer é justamente onde temos :

Procuramos agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para e .

Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre . No caso, assim como temos:

Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:

Assim, calculando os limites de quando e quando temos:

Concluímos, temos duas assíntotas horizontais, uma em e outra em .

Como temos assíntotas horizontais para e para , percebemos que não existem assíntotas oblíquas.

Bom, já vemos que, dada a função, não há nenhum impeditivo para o domínio de . Vemos que o domínio dessa função é dado pelos números reais, não havendo descontinuidade. Com isso, não teremos assíntotas verticais!

Procurando agora assíntotas horizontais, fazemos o limite para e :

Bom, se os dois limites explodiram é por que não temos assíntotas horizontais.

Resta só procurar assíntotas oblíquas. Para , modelamos uma assíntota oblíqua por . Por definição, os coeficientes serão:

Ou seja, uma assíntota oblíqua será .

Agora para , modelamos a assíntota como , por definição os coeficientes serão:

A outra assíntota oblíqua será .

Primeiro, vamos analisar o domínio. Nesse caso, não vamos ter nenhum problema porque não há nenhum valor de que nossa função não aceite, beleza? Em matematiquês, é o mesmo que dizer que não temos indeterminações.

E olha só! Se não temos indeterminações, não vamos ter candidatos à assíntotas verticais!

Vamos procurar agora assíntotas horizontais. Para isso, vamos jogar nosso limite para e , tranquilo?

E saca só, o está ao quadrado! Então já sabemos que não tem como o interior dessa raiz ser um número negativo! Não importa se ou o limite vai ser sempre:

Então descartamos também a possibilidade de termos assíntotas horizontais!

Quando temos assíntotas horizontais para e/ou para , temos a certeza que não existem assíntotas oblíquas. Como nesse caso não temos nem assíntotas verticais nem horizontais, vamos checar pra ver se a gente acha oblíquas? Simbora:

Seja , é só calcular agora. Pro coeficiente angular primeiro, ficamos com:

Pra resolver esse limite, saca só esse conceito importante aqui:

Pra , temos que , então . Sendo assim:

Pra , temos que , então . Sendo assim:

Opa, se temos dois valores de diferentes então temos duas assíntotas oblíquas diferentes! Já que é assim, vamos usar valores diferentes de no cálculo de . Para , usamos . Logo, calculamos :

Multiplicando pelo conjugado:

E, pra fechar com chave de ouro, usando , temos que . Logo, calculamos :

Multiplicando pelo conjugado:

Opa, se o tanto pra quanto pra , nossas duas assíntotas oblíquas vão ser:

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever . Saca só:

Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá:

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . Para a função , o cálculo de vai ficar:

Colocando em evidência:

Aplicando o limite:

Agora vamos calcular o valor de . Felizmente só vamos ter pra nos preocuparmos já que também só achamos . Como , calculamos o da seguinte forma:

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

Agora que não tem nenhum termo com em cima, vemos que independente de se ou se , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo uma constante, esse limite vai a . Logo:

E a assíntota oblíqua de vai ser:

Agora, para a função , o cálculo de e vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por então, temos:

Aplicando o limite:

Para o cálculo de então vamos ter:

E aplicando o limite, chegamos também à . Por fim, obtemos que a assíntota obl��qua de vai ser:

Agora é só juntar tudo bonitinho. A curva:

Terá duas assíntotas oblíquas:

Graficamente, vemos:

Essa questão já ta nos dizendo que tem pelo menos uma assíntota oblíqua, então já nem precisamos nos preocupar em achar outras assíntotas. Então nesse passo, vamos desenrolar esse enunciado e escrever . Saca só:

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . O cálculo de vai ficar:

Se a gente colocar no numerador o

Agora vamos calcular o valor de . Felizmente só vamos ter pra nos preocuparmos já que também só achamos . Como , calculamos o da seguinte forma:

Puts, esse limite parece complicado. Mas olha um detalhe importante dele: a raiz cúbica! Ela atrapalha, não é mesmo? Que tal tentarmos tirar ela daí usando esse produto notável:

Se fizermos e , multiplicando em cima e em baixo por temos:

Show de bola, numerador simplificado. Agora vamos simplificar o denominador. Vamos abrir o termo :

E colocando em evidência:

Agora, colocando em evidência em , ficamos com:

Jogando isso dentro do denominador:

Colocando em evidência:

E, finalmente, aplicando o limite:

Ufa, cabou! A assíntota oblíqua será então: